Радиус сектора равен образующей конуса \(l\).

Длина дуги сектора равна длине окружности основания:

\(\dfrac{90^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r\).

Отсюда \(\dfrac{\pi l}{2}=2\pi r\Rightarrow l=4r\).

Следовательно, \(l:r=4:1\).

Ответ: \(4:1\).

В осевом сечении основание равно диаметру, а боковые стороны — образующим.

Следовательно, \(2r=6\Rightarrow r=3\text{ cm}\), \(l=6\text{ cm}\).

Полная поверхность конуса:

\(S=\pi r^2+\pi rl\).

При \(\pi=3\): \(S=3\cdot 3^2+3\cdot 3\cdot 6=27+54=81\text{ cm}^2\).

Ответ: \(81\text{ cm}^2\).

Из \(\pi r^2=9\pi\) получаем \(r=3\text{ cm}\).

Площадь осевого сечения равна \(rh\), значит \(3h=12\Rightarrow h=4\text{ cm}\).

Образующая: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ cm}\).

Ответ: \(5\text{ cm}\).

Имеем \(2r=4\Rightarrow r=2\text{ cm}\), а образующая \(l=2\sqrt{10}\text{ cm}\).

Высота конуса: \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{40-4}=6\text{ cm}\).

Объём: \(V=\dfrac13\pi r^2h\). При \(\pi=3\): \(V=\dfrac13\cdot 3\cdot 4\cdot 6=24\text{ cm}^3\).

Ответ: \(24\text{ cm}^3\).

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Если оно прямоугольное, то радиус основания равен высоте конуса: \(r=h\).

Площадь осевого сечения равна \(rh\), значит \(r^2=36\), откуда \(r=h=6\text{ cm}\).

Объём: \(V=\dfrac13\pi r^2h\). При \(\pi=3\): \(V=\dfrac13\cdot 3\cdot 36\cdot 6=216\text{ cm}^3\).

Ответ: \(216\text{ cm}^3\).

Из \(\pi r^2=64\pi\) получаем \(r=8\text{ cm}\).

Из \(\pi rl=80\pi\) получаем \(8l=80\Rightarrow l=10\text{ cm}\).

Высота: \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm}\).

Ответ: \(6\text{ cm}\).

Сечение через вершину и хорду основания — равнобедренный треугольник с основанием \(10\text{ cm}\).

Половина хорды равна \(5\text{ cm}\), а расстояние от центра основания до хорды:

\(d=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ cm}\).

Высота конуса равна \(9\text{ cm}\), поэтому расстояние от вершины конуса до этой хорды в плоскости сечения равно \(\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}\).

Площадь сечения: \(\dfrac12\cdot 10\cdot 15=75\text{ cm}^2\).

Ответ: \(75\text{ cm}^2\).

По формуле объёма \(27\pi=\dfrac13\pi r^2\cdot 3=\pi r^2\), значит \(r^2=27\).

Тогда образующая: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{27+9}=6\text{ cm}\).

Ответ: \(6\text{ cm}\).

Из условия о длине дуги сектора:

\(\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r\Rightarrow l=3r\).

Тогда

\(\dfrac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}}=\dfrac{\pi rl}{\pi r^2}=\dfrac{l}{r}=3\).

Ответ: \(3:1\).

Основание осевого сечения равно диаметру основания конуса: \(2r=6\sqrt3\Rightarrow r=3\sqrt3\text{ cm}\).

Высота равностороннего треугольника со стороной \(6\sqrt3\) равна \(\dfrac{6\sqrt3\cdot \sqrt3}{2}=9\text{ cm}\). Это высота конуса.

Объём: \(V=\dfrac13\pi r^2h\). При \(\pi=3\): \(V=\dfrac13\cdot 3\cdot 27\cdot 9=243\text{ cm}^3\).

Ответ: \(243\text{ cm}^3\).

Из \(\pi r^2=25\pi\) следует \(r=5\text{ cm}\).

Площадь осевого сечения равна \(rh\), поэтому \(5h=60\Rightarrow h=12\text{ cm}\).

Образующая: \(l=\sqrt{5^2+12^2}=13\text{ cm}\).

Ответ: \(13\text{ cm}\).

Имеем \(2r=6\Rightarrow r=3\text{ cm}\), образующая \(l=\sqrt{34}\text{ cm}\).

Высота: \(h=\sqrt{34-9}=5\text{ cm}\).

Объём: \(V=\dfrac13\pi r^2h\). При \(\pi=3\): \(V=\dfrac13\cdot 3\cdot 9\cdot 5=45\text{ cm}^3\).

Ответ: \(45\text{ cm}^3\).

Как и в случае прямоугольного осевого сечения, имеем \(r=h\).

Площадь осевого сечения равна \(rh\), значит \(r^2=81\Rightarrow r=h=9\text{ cm}\).

Тогда \(V=\dfrac13\pi r^2h\). При \(\pi=3\): \(V=\dfrac13\cdot 3\cdot 81\cdot 9=729\text{ cm}^3\).

Ответ: \(729\text{ cm}^3\).

Из \(\pi r^2=25\pi\) имеем \(r=5\text{ cm}\).

Из \(\pi rl=65\pi\) получаем \(5l=65\Rightarrow l=13\text{ cm}\).

Высота: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ cm}\).

Ответ: \(12\text{ cm}\).

Основание сечения — хорда длиной \(16\text{ cm}\), половина хорды \(8\text{ cm}\).

Расстояние от центра основания до хорды: \(\sqrt{17^2-8^2}=15\text{ cm}\).

Тогда высота сечения к хорде равна \(\sqrt{20^2+15^2}=25\text{ cm}\).

Площадь сечения: \(\dfrac12\cdot 16\cdot 25=200\text{ cm}^2\).

Ответ: \(200\text{ cm}^2\).

Из формулы объёма: \(26\pi=\dfrac13\pi r^2\cdot 6=2\pi r^2\).

Следовательно, \(r^2=13\).

Образующая: \(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{13+36}=7\text{ cm}\).

Ответ: \(7\text{ cm}\).