Так как все боковые рёбра равны, проекция вершины пирамиды на основание — центр прямоугольника.

Диагональ основания равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}\), значит расстояние от центра до вершины основания равно \(5\text{ cm}\).

Пусть высота пирамиды равна \(h\). Тогда

\(h^2+5^2=61\Rightarrow h=6\text{ cm}\).

Площадь основания: \(6\cdot 8=48\text{ cm}^2\).

Объём: \(V=\dfrac13\cdot 48\cdot 6=96\text{ cm}^3\).

Ответ: \(96\text{ cm}^3\).

Если диагональ квадрата равна \(10\sqrt2\), то его сторона \(a=10\text{ cm}\).

Площадь основания: \(a^2=100\text{ cm}^2\).

Пусть \(O\) — центр основания, \(M\) — середина стороны. Тогда \(OM=\dfrac a2=5\text{ cm}\).

В треугольнике \(SOM\) угол \(\angle SMO\) равен углу наклона боковой грани к основанию, то есть \(60^\circ\).

\(\cos60^\circ=\dfrac{OM}{SM}=\dfrac5{SM}\Rightarrow SM=10\text{ cm}\).

Это апофема пирамиды. Площадь одной боковой грани: \(\dfrac12\cdot 10\cdot 10=50\text{ cm}^2\).

Боковая поверхность: \(4\cdot 50=200\text{ cm}^2\).

Полная поверхность: \(100+200=300\text{ cm}^2\).

Ответ: \(300\text{ cm}^2\).

Если все боковые грани наклонены к основанию под одним углом, то проекция вершины пирамиды на основание — центр вписанной окружности основания. Для ромба это точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба: \(S=\dfrac{40\cdot 30}{2}=600\text{ cm}^2\).

Его сторона: \(a=\sqrt{20^2+15^2}=25\text{ cm}\).

Полупериметр: \(p=2a=50\text{ cm}\).

Радиус вписанной окружности: \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{600}{50}=12\text{ cm}\).

При угле \(45^\circ\) имеем \(\tan45^\circ=1\), значит высота пирамиды равна этому расстоянию: \(h=r=12\text{ cm}\).

Ответ: \(12\text{ cm}\).

Сторона квадрата основания: \(a=\sqrt{32}=4\sqrt2\text{ cm}\).

Пусть \(O\) — центр основания. Тогда \(OM=OK=\dfrac a2=2\sqrt2\text{ cm}\), а \(SO=2\sqrt3\text{ cm}\).

По теореме Пифагора:

\(SM=SK=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{12+8}=2\sqrt5\text{ cm}\).

Отрезок \(MK\) соединяет середины соседних сторон квадрата, поэтому

\(MK=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=4\text{ cm}\).

Треугольник \(SMK\) равнобедренный со сторонами \(2\sqrt5,2\sqrt5,4\). Его высота к основанию \(MK\): \(\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=4\text{ cm}\).

Площадь сечения: \(\dfrac12\cdot 4\cdot 4=8\text{ cm}^2\).

Ответ: \(8\text{ cm}^2\).

Гипотенуза прямоугольного треугольника основания: \(\sqrt{10^2+24^2}=26\text{ cm}\).

Если все боковые рёбра равны, проекция вершины пирамиды — центр описанной окружности основания. Для прямоугольного треугольника это середина гипотенузы.

Радиус описанной окружности: \(R=13\text{ cm}\).

Пусть высота пирамиды \(h\). Тогда

\(h^2+13^2=269\Rightarrow h=10\text{ cm}\).

Площадь основания: \(\dfrac{10\cdot 24}{2}=120\text{ cm}^2\).

Объём: \(V=\dfrac13\cdot 120\cdot 10=400\text{ cm}^3\).

Ответ: \(400\text{ cm}^3\).

По формуле объёма: \(48=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot 4\Rightarrow S_{\text{осн}}=36\text{ cm}^2\).

Значит сторона квадрата основания \(a=6\text{ cm}\).

Пусть \(O\) — центр основания, \(M\) — середина стороны. Тогда \(OM=3\text{ cm}\), \(SO=4\text{ cm}\).

Апофема пирамиды: \(SM=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}\).

Площадь одной боковой грани: \(\dfrac12\cdot 6\cdot 5=15\text{ cm}^2\).

Боковая поверхность: \(4\cdot 15=60\text{ cm}^2\).

Полная поверхность: \(36+60=96\text{ cm}^2\).

Ответ: \(96\text{ cm}^2\).

В правильном шестиугольнике диагональ \(AC\), соединяющая вершины через одну, равна \(a\sqrt3=4\sqrt3\text{ cm}\).

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне: \(R=4\text{ cm}\).

Расстояние от центра основания до диагонали \(AC\): \(R\cos60^\circ=2\text{ cm}\).

Высота треугольника \(SAC\), опущенная к \(AC\), равна \(\sqrt{(2\sqrt2)^2+2^2}=2\sqrt3\text{ cm}\).

Тогда площадь сечения: \(\dfrac12\cdot 4\sqrt3\cdot 2\sqrt3=12\text{ cm}^2\).

Ответ: \(12\text{ cm}^2\).

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(6\sqrt3\text{ cm}\).

Радиус описанной окружности такого треугольника: \(R=\dfrac{a}{\sqrt3}=6\text{ cm}\).

Пусть \(O\) — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике \(SAO\) угол между ребром \(SA\) и плоскостью основания равен \(\angle SAO=60^\circ\).

Следовательно, \(\tan60^\circ=\dfrac{SO}{AO}\Rightarrow SO=6\sqrt3\text{ cm}\).

Площадь основания: \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=27\sqrt3\text{ cm}^2\).

Объём: \(\dfrac13\cdot 27\sqrt3\cdot 6\sqrt3=162\text{ cm}^3\).

Ответ: \(162\text{ cm}^3\).

Пусть \(O\) — центр основания. Тогда \(AO=\sqrt{15^2-12^2}=9\text{ cm}\).

Для квадрата \(AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}\), значит \(a=9\sqrt2\text{ cm}\).

Площадь основания: \((9\sqrt2)^2=162\text{ cm}^2\).

Объём всей пирамиды: \(\dfrac13\cdot 162\cdot 12=648\text{ cm}^3\).

Так как \(AK=5\text{ cm}\), то \(SK=10\text{ cm}\). Верхняя малая пирамида подобна большой с коэффициентом \(\dfrac{SK}{SA}=\dfrac{10}{15}=\dfrac23\).

Её объём: \(648\cdot \left(\dfrac23\right)^3=192\text{ cm}^3\).

Объём усечённой пирамиды: \(648-192=456\text{ cm}^3\).

Ответ: \(456\text{ cm}^3\).

При одинаковом угле наклона всех боковых граней проекция вершины пирамиды — центр вписанной окружности основания.

Высота к основанию \(12\) в треугольнике со сторонами \(10,10,12\) равна \(\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}\).

Площадь основания: \(\dfrac{12\cdot 8}{2}=48\text{ cm}^2\).

Полупериметр: \(\dfrac{10+10+12}{2}=16\text{ cm}\).

Радиус вписанной окружности: \(r=\dfrac{48}{16}=3\text{ cm}\).

Так как \(\tan45^\circ=1\), высота пирамиды равна \(r\), то есть \(3\text{ cm}\).

Ответ: \(3\text{ cm}\).

Площадь ромба: \(\dfrac{4\cdot 6}{2}=12\text{ cm}^2\).

Точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин на расстояния, равные половинам диагоналей: \(2\text{ cm}\) и \(3\text{ cm}\).

Большему боковому ребру соответствует большее расстояние, то есть \(3\text{ cm}\).

Пусть высота пирамиды \(h\). Тогда \(h^2+3^2=5^2\Rightarrow h=4\text{ cm}\).

Объём: \(\dfrac13\cdot 12\cdot 4=16\text{ cm}^3\).

Ответ: \(16\text{ cm}^3\).

Основание — прямоугольный треугольник со сторонами \(6,8,10\).

Его площадь: \(\dfrac{6\cdot 8}{2}=24\text{ cm}^2\), полупериметр: \(\dfrac{6+8+10}{2}=12\text{ cm}\).

Радиус вписанной окружности основания: \(r=\dfrac{24}{12}=2\text{ cm}\).

При одинаковом угле наклона всех боковых граней проекция вершины — центр вписанной окружности основания.

Из прямоугольного треугольника, перпендикулярного стороне основания, имеем \(\tan60^\circ=\dfrac{h}{r}\), откуда \(h=2\sqrt3\text{ cm}\).

Апофема каждой боковой грани: \(l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12+4}=4\text{ cm}\).

Тогда площадь боковой поверхности: \(\dfrac12\cdot P_{\text{осн}}\cdot l=\dfrac12\cdot 24\cdot 4=48\text{ cm}^2\).

Ответ: \(48\text{ cm}^2\).

Площадь основания: \(\dfrac{16\cdot 8}{2}=64\text{ cm}^2\).

Так как \(SC\perp(ABC)\), высота пирамиды равна \(12\text{ cm}\).

Объём всей пирамиды: \(\dfrac13\cdot 64\cdot 12=256\text{ cm}^3\).

Малая верхняя пирамида подобна большой с коэффициентом \(\dfrac{SK}{SC}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14\).

Её объём: \(256\cdot \left(\dfrac14\right)^3=4\text{ cm}^3\).

Объём усечённой пирамиды: \(256-4=252\text{ cm}^3\).

Ответ: \(252\text{ cm}^3\).

Площадь ромба: \(a^2\sin60^\circ=16\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ cm}^2\).

Пусть основание высоты — вершина \(A\) острого угла ромба. Наиболее удалённая от неё вершина — противоположная \(C\), значит большее боковое ребро — это \(SC\).

Большая диагональ ромба со стороной \(4\) и углом \(60^\circ\) равна \(4\sqrt3\text{ cm}\).

Тогда в прямоугольном треугольнике \(SAC\):

\(h^2+(4\sqrt3)^2=(5\sqrt3)^2\Rightarrow h^2=27\Rightarrow h=3\sqrt3\text{ cm}\).

Объём: \(\dfrac13\cdot 8\sqrt3\cdot 3\sqrt3=24\text{ cm}^3\).

Ответ: \(24\text{ cm}^3\).

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(12\text{ cm}\), его площадь равна \(\dfrac{12^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3\text{ cm}^2\).

Пусть \(O\) — центр основания, \(M\) — середина стороны. Тогда \(OM\) равно радиусу вписанной окружности равностороннего треугольника: \(\dfrac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3\text{ cm}\).

В треугольнике \(SOM\) угол \(\angle SMO=45^\circ\), поэтому \(SO=OM=2\sqrt3\text{ cm}\).

Объём пирамиды: \(\dfrac13\cdot 36\sqrt3\cdot 2\sqrt3=72\text{ cm}^3\).

Ответ: \(72\text{ cm}^3\).

Высота треугольника основания к стороне \(AC\): \(\sqrt{20^2-16^2}=12\text{ cm}\).

Площадь основания: \(\dfrac12\cdot 32\cdot 12=192\text{ cm}^2\).

Так как \(SB\perp(ABC)\), то треугольники \(SAB\) и \(SBC\) прямоугольные, их площади равны \(\dfrac12\cdot 20\cdot 9=90\text{ cm}^2\) каждая.

Найдём грань \(SAC\). Имеем \(SA=SC=\sqrt{20^2+9^2}=\sqrt{481}\text{ cm}\).

Высота треугольника \(SAC\) к основанию \(AC\): \(\sqrt{481-16^2}=15\text{ cm}\).

Значит \(S_{SAC}=\dfrac12\cdot 32\cdot 15=240\text{ cm}^2\).

Полная поверхность: \(192+90+90+240=612\text{ cm}^2\).

Ответ: \(612\text{ cm}^2\).