Диагональ квадрата равна \(4\sqrt{2}\text{ cm}\). Тогда его сторона равна

\(a=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\text{ cm}\).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\). По условию это квадрат, значит

\(h=2r=4\).

Следовательно, \(r=2\text{ cm}\), \(h=4\text{ cm}\).

Полная поверхность цилиндра:

\(S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\).

Подставим данные и \(\pi=3\):

\(S_{\text{полн}}=2\cdot 3\cdot 2\cdot (2+4)=72\text{ cm}^2\).

Ответ: \(72\).

Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2\). По условию

\(\pi r^2=9\pi\).

Следовательно, \(r^2=9\), откуда \(r=3\text{ cm}\).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\).

Тогда его площадь:

\(S=2r\cdot h=2\cdot 3\cdot 5=30\text{ cm}^2\).

Ответ: \(30\).

Если шар вписан в куб, то его диаметр равен ребру куба:

\(d=4\text{ cm}\).

Тогда радиус шара:

\(r=2\text{ cm}\).

Объём шара:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\).

Так как \(\pi=3\), получаем

\(V=\dfrac{4}{3}\cdot 3\cdot 2^3=4\cdot 8=32\text{ cm}^3\).

Ответ: \(32\).

Сечение шара плоскостью — круг. Если радиус шара \(R=6\text{ cm}\), а расстояние от центра до плоскости \(d=4\text{ cm}\), то радиус сечения \(r\) находится по теореме Пифагора:

\(r^2=R^2-d^2=6^2-4^2=36-16=20\).

Следовательно, площадь сечения:

\(S=\pi r^2=\pi\cdot 20\).

При \(\pi=3\):

\(S=3\cdot 20=60\text{ cm}^2\).

Ответ: \(60\).

Если шар вписан в цилиндр, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара.

Значит

\(r=1\text{ cm},\quad h=2\text{ cm}\).

Объём цилиндра:

\(V=\pi r^2h\).

Подставим значения и \(\pi=3\):

\(V=3\cdot 1^2\cdot 2=6\text{ cm}^3\).

Ответ: \(6\).

У прямого цилиндра образующая равна высоте, значит

\(h=10\text{ cm}\).

Сечение плоскостью, параллельной оси, — прямоугольник. Его одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — хорда основания.

Расстояние от центра окружности основания до хорды равно \(12\text{ cm}\), радиус основания \(13\text{ cm}\).

Половина хорды:

\(x=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ cm}\).

Тогда длина хорды:

\(2x=10\text{ cm}\).

Площадь сечения:

\(S=10\cdot 10=100\text{ cm}^2\).

Ответ: \(100\).

Шар, проходящий через все вершины куба, описан около куба. Радиус такого шара равен половине пространственной диагонали куба.

Пространственная диагональ куба:

\(d=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6\text{ cm}\).

Следовательно, радиус шара:

\(R=\dfrac{d}{2}=3\text{ cm}\).

Объём шара:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3\).

При \(\pi=3\):

\(V=\dfrac{4}{3}\cdot 3\cdot 3^3=4\cdot 27=108\text{ cm}^3\).

Ответ: \(108\).

Объём цилиндра равен

\(V=\pi r^2h\).

Если радиус увеличить в \(2\) раза, то \(r^2\) увеличится в \(2^2=4\) раза.

Если высоту увеличить в \(5\) раз, то объём ещё увеличится в \(5\) раз.

Итак, общий множитель изменения объёма:

\(4\cdot 5=20\).

Ответ: \(20\).

Как и в задаче о квадратном осевом сечении, сторона квадрата равна

\(a=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\text{ cm}\).

Значит

\(h=2r=4\), откуда \(r=2\text{ cm}\), \(h=4\text{ cm}\).

Объём цилиндра:

\(V=\pi r^2h\).

При \(\pi=3\):

\(V=3\cdot 2^2\cdot 4=3\cdot 4\cdot 4=48\text{ cm}^3\).

Ответ: \(48\).

По формуле площади основания цилиндра:

\(\pi r^2=16\pi\).

Следовательно, \(r^2=16\), откуда \(r=4\text{ cm}\).

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\).

Площадь осевого сечения:

\(S=2r\cdot h=2\cdot 4\cdot 4=32\text{ cm}^2\).

Ответ: \(32\).

Если шар вписан в куб, то его диаметр равен ребру куба:

\(d=10\text{ cm}\), значит \(r=5\text{ cm}\).

Площадь поверхности шара:

\(S=4\pi r^2\).

При \(\pi=3\):

\(S=4\cdot 3\cdot 5^2=12\cdot 25=300\text{ cm}^2\).

Ответ: \(300\).

Плоское сечение шара — круг. Его радиус определяется по формуле

\(r^2=R^2-d^2\), где \(R=8\), \(d=7\).

Получаем:

\(r^2=8^2-7^2=64-49=15\).

Площадь круга:

\(S=\pi r^2=\pi\cdot 15\).

При \(\pi=3\):

\(S=45\text{ cm}^2\).

Ответ: \(45\).

Если шар вписан в цилиндр, то

\(r_{\text{цил}}=r_{\text{шара}}=2\text{ cm}\),

а высота цилиндра равна диаметру шара:

\(h=4\text{ cm}\).

Полная поверхность цилиндра:

\(S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\).

Подставим значения и \(\pi=3\):

\(S_{\text{полн}}=2\cdot 3\cdot 2\cdot (2+4)=72\text{ cm}^2\).

Ответ: \(72\).

У прямого цилиндра образующая равна высоте, значит

\(h=6\text{ cm}\).

Сечение, параллельное оси, — прямоугольник. Его ширина равна хорде основания, удалённой от центра на \(8\text{ cm}\).

Половина этой хорды:

\(x=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm}\).

Следовательно, вся хорда равна \(12\text{ cm}\).

Тогда площадь сечения:

\(S=12\cdot 6=72\text{ cm}^2\).

Ответ: \(72\).

Такой шар описан около куба, поэтому его радиус равен половине пространственной диагонали куба.

Пространственная диагональ куба:

\(d=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=12\text{ cm}\).

Тогда радиус шара:

\(R=\dfrac{12}{2}=6\text{ cm}\).

Площадь поверхности шара:

\(S=4\pi R^2\).

При \(\pi=3\):

\(S=4\cdot 3\cdot 6^2=12\cdot 36=432\text{ cm}^2\).

Ответ: \(432\).

Объём цилиндра равен

\(V=\pi r^2h\).

Если радиус уменьшить в \(3\) раза, то новый радиус станет \(\dfrac{r}{3}\), а квадрат радиуса уменьшится в \(9\) раз:

\(\left(\dfrac{r}{3}\right)^2=\dfrac{r^2}{9}\).

Чтобы объём не изменился, нужно компенсировать это увеличением высоты в \(9\) раз.

Ответ: \(9\).