Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. В равнобедренной трапеции получатся два равных прямоугольных треугольника.

Разность оснований равна \(10-4=6\), значит проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(\dfrac{6}{2}=3\).

Тогда высота трапеции равна:

\(h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{10+4}{2}\cdot 4=7\cdot 4=28\)? Проверим: \(\dfrac{14}{2}=7\), значит \(S=28\).

Ответ: \(28\text{ cm}^2\).

Площадь ромба выражается через диагонали формулой

\(S=\dfrac{d_1d_2}{2}\).

Подставим данные:

\(30=\dfrac{10\cdot d_2}{2}=5d_2\), откуда \(d_2=6\).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, значит половины диагоналей равны \(5\) и \(3\).

Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника:

\(a=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\).

Ответ: \(\sqrt{34}\text{ cm}\).

Разность оснований равна \(12-4=8\). В равнобедренной трапеции при опускании высот она делится пополам, значит в каждом из образовавшихся прямоугольных треугольников катет у основания равен \(4\).

Так как один из острых углов равен \(45^\circ\), то в прямоугольном треугольнике высота равна второму катету:

\(h=4\).

Теперь площадь:

\(S=\dfrac{4+12}{2}\cdot 4=8\cdot 4=32\text{ cm}^2\).

Ответ: \(32\text{ cm}^2\).

Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.

Значит площадь всего параллелограмма равна:

\(S=4\cdot 24=96\text{ cm}^2\).

Высота к стороне \(12\) равна \(\dfrac{96}{12}=8\text{ cm}\).

Высота к стороне \(8\) равна \(\dfrac{96}{8}=12\text{ cm}\).

Меньшая высота равна \(8\text{ cm}\).

Ответ: \(8\text{ cm}\).

В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других в сумме дают \(180^\circ\). Если один из них равен \(135^\circ\), то второй острый угол равен \(45^\circ\).

Разность оснований равна \(12-8=4\text{ cm}\).

Эта разность является горизонтальным катетом прямоугольного треугольника у наклонной боковой стороны. Так как угол острый равен \(45^\circ\), высота трапеции равна второму катету:

\(h=4\text{ cm}\).

Тогда

\(S=\dfrac{12+8}{2}\cdot 4=10\cdot 4=40\text{ cm}^2\).

Ответ: \(40\text{ cm}^2\).

Сторона \(AD\) состоит из отрезков \(AH\) и \(HD\), значит

\(AD=6+4=10\text{ cm}\).

В ромбе все стороны равны, следовательно, \(AB=10\text{ cm}\).

Треугольник \(ABH\) прямоугольный, так как \(BH\) — высота. По теореме Пифагора:

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}\).

Площадь ромба равна произведению стороны на соответствующую высоту:

\(S=AD\cdot BH=10\cdot 8=80\text{ cm}^2\).

Ответ: \(80\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона — наклонная. Разность оснований равна

\(20-10=10\text{ cm}\).

Получаем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна \(26\), один катет равен \(10\), а второй катет — это высота трапеции.

По теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\text{ cm}\).

Тогда площадь:

\(S=\dfrac{20+10}{2}\cdot 24=15\cdot 24=360\text{ cm}^2\).

Ответ: \(360\text{ cm}^2\).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Значит половина данной диагонали равна \(8\text{ cm}\).

Пусть половина другой диагонали равна \(x\). Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(17\) имеем:

\(x^2+8^2=17^2\).

\(x^2+64=289\Rightarrow x^2=225\Rightarrow x=15\).

Тогда вторая диагональ равна \(30\text{ cm}\).

Площадь ромба:

\(S=\dfrac{16\cdot 30}{2}=240\text{ cm}^2\).

Ответ: \(240\text{ cm}^2\).

Сначала найдём вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора:

\(b=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm}\).

Площадь прямоугольника равна:

\(S_{\text{прям.}}=8\cdot 6=48\text{ cm}^2\).

Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника равной площади.

Следовательно, площадь каждого треугольника равна:

\(\dfrac{48}{4}=12\text{ cm}^2\).

Ответ: каждый из четырёх треугольников имеет площадь \(12\text{ cm}^2\).

Так как трапеция равнобедренная, при одном основании углы равны. Если один угол равен \(120^\circ\), то острый угол равен \(60^\circ\).

Боковая сторона равна \(8\text{ cm}\), и меньшее основание тоже равно \(8\text{ cm}\).

Высота трапеции равна:

\(h=8\sin 60^\circ=8\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\text{ cm}\).

Проекция каждой боковой стороны на большее основание равна:

\(8\cos 60^\circ=4\text{ cm}\).

Значит, большее основание равно:

\(8+4+4=16\text{ cm}\).

Тогда площадь:

\(S=\dfrac{8+16}{2}\cdot 4\sqrt3=12\cdot 4\sqrt3=48\sqrt3\text{ cm}^2\).

Ответ: \(48\sqrt3\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона — это высота. Значит, высота равна \(6\text{ cm}\), а наклонная боковая сторона равна \(10\text{ cm}\).

Разность оснований найдём из прямоугольного треугольника:

\(d=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}\).

Тогда большее основание равно:

\(8+8=16\text{ cm}\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{8+16}{2}\cdot 6=12\cdot 6=72\text{ cm}^2\).

Ответ: \(72\text{ cm}^2\).

Сторона \(BC\) состоит из отрезков \(BH\) и \(HC\), значит

\(BC=7+5=12\text{ cm}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(CD=AB=13\text{ cm}\).

Треугольник \(DHC\) прямоугольный, так как \(DH\) — высота. Тогда по теореме Пифагора:

\(DH=\sqrt{CD^2-HC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ cm}\).

Площадь параллелограмма:

\(S=BC\cdot DH=12\cdot 12=144\text{ cm}^2\).

Ответ: \(144\text{ cm}^2\).

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:

\(S=m\cdot h\).

Найдём высоту. Боковая сторона длины \(8\) образует с основанием угол \(150^\circ\), значит высота равна

\(h=8\sin 150^\circ=8\cdot \dfrac12=4\text{ cm}\).

Следовательно,

\(S=10\cdot 4=40\text{ cm}^2\).

Ответ: \(40\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона — это высота, значит \(h=6\text{ cm}\). Меньшее основание тоже равно \(6\text{ cm}\).

Если один из углов равен \(135^\circ\), то острый угол при наклонной боковой стороне равен \(45^\circ\).

В прямоугольном треугольнике у наклонной боковой стороны при угле \(45^\circ\) катеты равны, значит разность оснований равна высоте:

\(d=6\text{ cm}\).

Тогда большее основание равно:

\(6+6=12\text{ cm}\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{6+12}{2}\cdot 6=9\cdot 6=54\text{ cm}^2\).

Ответ: \(54\text{ cm}^2\).

По формуле площади трапеции:

\(180=\dfrac{6+24}{2}\cdot h=15h\).

Отсюда \(h=12\text{ cm}\).

Разность оснований равна \(24-6=18\text{ cm}\). После опускания высот она делится пополам, значит горизонтальный катет равен \(9\text{ cm}\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(12\) и \(9\):

\(c=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{ cm}\).

Ответ: \(15\text{ cm}\).

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:

\(S=a\cdot h\).

Подставим данные:

\(18=a\cdot 3\Rightarrow a=6\text{ cm}\).

Высота ромба выражается через сторону и угол:

\(h=a\sin \alpha\).

Значит,

\(3=6\sin \alpha\Rightarrow \sin \alpha=\dfrac12\).

Отсюда угол ромба может быть равен \(30^\circ\). Второй угол дополнительный к нему, то есть \(150^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(150^\circ\).