Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. В равнобедренной трапеции получатся два равных прямоугольных треугольника.

Разность оснований равна \(10-4=6\), значит проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(\dfrac{6}{2}=3\).

Тогда высота трапеции равна:

\(h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{10+4}{2}\cdot 4=7\cdot 4=28\)? Проверим: \(\dfrac{14}{2}=7\), значит \(S=28\).

Ответ: \(28\text{ cm}^2\).

Площадь ромба выражается через диагонали формулой

\(S=\dfrac{d_1d_2}{2}\).

Подставим данные:

\(30=\dfrac{10\cdot d_2}{2}=5d_2\), откуда \(d_2=6\).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, значит половины диагоналей равны \(5\) и \(3\).

Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника:

\(a=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\).

Ответ: \(\sqrt{34}\text{ cm}\).

Разность оснований равна \(12-4=8\). В равнобедренной трапеции при опускании высот она делится пополам, значит в каждом из образовавшихся прямоугольных треугольников катет у основания равен \(4\).

Так как один из острых углов равен \(45^\circ\), то в прямоугольном треугольнике высота равна второму катету:

\(h=4\).

Теперь площадь:

\(S=\dfrac{4+12}{2}\cdot 4=8\cdot 4=32\text{ cm}^2\).

Ответ: \(32\text{ cm}^2\).

Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.

Значит площадь всего параллелограмма равна:

\(S=4\cdot 24=96\text{ cm}^2\).

Высота к стороне \(12\) равна \(\dfrac{96}{12}=8\text{ cm}\).

Высота к стороне \(8\) равна \(\dfrac{96}{8}=12\text{ cm}\).

Меньшая высота равна \(8\text{ cm}\).

Ответ: \(8\text{ cm}\).

В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других в сумме дают \(180^\circ\). Если один из них равен \(135^\circ\), то второй острый угол равен \(45^\circ\).

Разность оснований равна \(12-8=4\text{ cm}\).

Эта разность является горизонтальным катетом прямоугольного треугольника у наклонной боковой стороны. Так как угол острый равен \(45^\circ\), высота трапеции равна второму катету:

\(h=4\text{ cm}\).

Тогда

\(S=\dfrac{12+8}{2}\cdot 4=10\cdot 4=40\text{ cm}^2\).

Ответ: \(40\text{ cm}^2\).