По теореме Пифагора найдём второй катет:

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-21}=2\).

В прямоугольном треугольнике \(\sin B\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\(\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{5}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{5}\).

Пусть второй катет равен \(x\). Тогда по формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\dfrac12\cdot 8\cdot x=60\).

\(4x=60\Rightarrow x=15\).

Теперь найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\).

Ответ: \(17\).

По определению синуса:

\(\sin B=\dfrac{AC}{AB}\).

Значит,

\(AC=AB\cdot \sin B=10\cdot \dfrac{\sqrt{51}}{10}=\sqrt{51}\).

Теперь по теореме Пифагора:

\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{100-51}=\sqrt{49}=7\).

Ответ: \(7\).

Проведём высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник.

Пусть высота равна \(h\). Тогда из определения синуса угла при основании:

\(\sin \alpha=\dfrac{h}{\sqrt{34}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\).

Отсюда \(h=3\).

Половина основания равна:

\(\sqrt{34-3^2}=\sqrt{25}=5\).

Значит, всё основание равно \(2\cdot 5=10\).

Ответ: \(10\).

Найдём высоту к основанию по формуле площади:

\(S=\dfrac12 ah\).

\(48=\dfrac12\cdot 12\cdot h\Rightarrow 48=6h\Rightarrow h=8\).

Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, значит половина основания равна \(6\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(6\) и \(8\):

\(b=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\).

Ответ: \(10\).

Пусть данный катет равен \(4\) и лежит против угла \(\alpha\). Тогда по определению тангенса:

\(\tan \alpha=\dfrac{4}{x}=\dfrac{2}{\sqrt5}\),

где \(x\) — второй катет.

Отсюда:

\(4\sqrt5=2x\Rightarrow x=2\sqrt5\).

Теперь найдём гипотенузу:

\(c=\sqrt{4^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{16+20}=\sqrt{36}=6\).

Ответ: \(6\).

Пусть высота опущена на сторону, которую она делит на отрезки \(5\) и \(9\). Тогда эта сторона равна:

\(5+9=14\).

Получаются два прямоугольных треугольника. Их гипотенузы — это две другие стороны треугольника:

\(a=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\),

\(b=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=15\).

Тогда периметр:

\(P=13+15+14=42\).

Ответ: \(42\).

Основание треугольника равно \(4\), значит его половина равна \(2\).

Проведём высоту к основанию. Тогда получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна \(2\sqrt{10}\), а один катет равен \(2\).

Высота равна:

\(h=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=6\).

Площадь равна:

\(S=\dfrac12\cdot 4\cdot 6=12\).

Ответ: \(12\).

По теореме Пифагора найдём второй катет:

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{64-28}=\sqrt{36}=6\).

В прямоугольном треугольнике \(\cos A\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\(\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{3}{4}\).

Пусть второй катет равен \(x\). Тогда:

\(\dfrac12\cdot 12\cdot x=96\).

\(6x=96\Rightarrow x=16\).

По теореме Пифагора:

\(c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\).

Ответ: \(20\).

По определению косинуса:

\(\cos A=\dfrac{AC}{AB}\).

Тогда

\(AC=AB\cdot \cos A=5\cdot \dfrac{2\sqrt6}{5}=2\sqrt6\).

Теперь по теореме Пифагора:

\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25-24}=1\).

Ответ: \(1\).

Проведём высоту к основанию. Она делит основание пополам, значит половина основания равна \(2\).

Пусть высота равна \(h\). Тогда по определению тангенса угла при основании:

\(\tan \alpha=\dfrac{h}{2}=\dfrac{\sqrt5}{2}\).

Следовательно, \(h=\sqrt5\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\(b=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{4+5}=3\).

Ответ: \(3\).

По формуле площади:

\(108=\dfrac12\cdot a\cdot 9\).

\(108=\dfrac{9a}{2}\Rightarrow 216=9a\Rightarrow a=24\).

Половина основания равна \(12\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(12\) и \(9\):

\(b=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\).

Ответ: \(15\).

Пусть данный катет длины \(3\) прилежит углу \(\alpha\). Тогда по определению тангенса:

\(\tan \alpha=\dfrac{x}{3}=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\),

где \(x\) — второй катет.

Отсюда:

\(x=2\sqrt{10}\).

Теперь найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c=\sqrt{3^2+(2\sqrt{10})^2}=\sqrt{9+40}=\sqrt{49}=7\).

Ответ: \(7\).

Сторона, на которую опущена высота, равна:

\(8+20=28\).

Получаются два прямоугольных треугольника. Их гипотенузы равны двум другим сторонам исходного треугольника:

\(a=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=17\),

\(b=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25\).

Тогда периметр:

\(P=17+25+28=70\).

Ответ: \(70\).

Основание равно \(6\), значит его половина равна \(3\).

Проведём высоту к основанию. Она образует прямоугольный треугольник с гипотенузой \(3\sqrt5\) и катетом \(3\).

Высота равна:

\(h=\sqrt{(3\sqrt5)^2-3^2}=\sqrt{45-9}=6\).

Площадь треугольника:

\(S=\dfrac12\cdot 6\cdot 6=18\).

Ответ: \(18\).