По теореме Пифагора найдём второй катет:

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-21}=2\).

В прямоугольном треугольнике \(\sin B\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\(\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2}{5}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{5}\).

Пусть второй катет равен \(x\). Тогда по формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\dfrac12\cdot 8\cdot x=60\).

\(4x=60\Rightarrow x=15\).

Теперь найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\).

Ответ: \(17\).

По определению синуса:

\(\sin B=\dfrac{AC}{AB}\).

Значит,

\(AC=AB\cdot \sin B=10\cdot \dfrac{\sqrt{51}}{10}=\sqrt{51}\).

Теперь по теореме Пифагора:

\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{100-51}=\sqrt{49}=7\).

Ответ: \(7\).

Проведём высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник.

Пусть высота равна \(h\). Тогда из определения синуса угла при основании:

\(\sin \alpha=\dfrac{h}{\sqrt{34}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\).

Отсюда \(h=3\).

Половина основания равна:

\(\sqrt{34-3^2}=\sqrt{25}=5\).

Значит, всё основание равно \(2\cdot 5=10\).

Ответ: \(10\).

Найдём высоту к основанию по формуле площади:

\(S=\dfrac12 ah\).

\(48=\dfrac12\cdot 12\cdot h\Rightarrow 48=6h\Rightarrow h=8\).

Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, значит половина основания равна \(6\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(6\) и \(8\):

\(b=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\).

Ответ: \(10\).