По рисунку площадь ограничена графиком функции \(y=x^3+1\), осью \(Ox\) и вертикальными прямыми \(x=-1\) и \(x=1\).

Так как на этом промежутке функция неотрицательна, площадь равна определённому интегралу:

\(S=\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+1)\,dx\).

Найдём первообразную:

\(\int (x^3+1)\,dx=\dfrac{x^4}{4}+x\).

Тогда

\(S=\left(\dfrac{x^4}{4}+x\right)\Big|_{-1}^{1}=\left(\dfrac14+1\right)-\left(\dfrac14-1\right)=2\).

По рисунку заштрихованная область расположена между графиком \(y=6-x^2\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=-1\) и \(x=2\).

Следовательно, её площадь равна

\(S=\displaystyle\int_{-1}^{2}(6-x^2)\,dx\).

Первообразная функции \(6-x^2\):

\(6x-\dfrac{x^3}{3}\).

Тогда

\(S=\left(6x-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2}=\left(12-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-6+\dfrac13\right)=15\).

По рисунку заштрихованная область ограничена графиком \(y=x^2-x\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=1\) и \(x=4\).

На отрезке \([1,4]\) функция неотрицательна, поэтому

\(S=\displaystyle\int_{1}^{4}(x^2-x)\,dx\).

Первообразная:

\(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\).

Тогда

\(S=\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{4}=\left(\dfrac{64}{3}-8\right)-\left(\dfrac13-\dfrac12\right)=\dfrac{40}{3}+\dfrac16=\dfrac{81}{6}=\dfrac{27}{2}\).

По рисунку область ограничена графиком \(y=-x^3+2\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=-1\) и \(x=1\).

На этом промежутке функция положительна, поэтому

\(S=\displaystyle\int_{-1}^{1}(-x^3+2)\,dx\).

Первообразная:

\(-\dfrac{x^4}{4}+2x\).

Следовательно,

\(S=\left(-\dfrac{x^4}{4}+2x\right)\Big|_{-1}^{1}=\left(-\dfrac14+2\right)-\left(-\dfrac14-2\right)=4\).

По рисунку область ограничена графиком \(y=7-x^2\), осью \(Ox\) и прямыми \(x=-2\) и \(x=1\).

Следовательно,

\(S=\displaystyle\int_{-2}^{1}(7-x^2)\,dx\).

Первообразная:

\(7x-\dfrac{x^3}{3}\).

Тогда

\(S=\left(7x-\dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{1}=\left(7-\dfrac13\right)-\left(-14+\dfrac83\right)=18\).