Найдём производную:

\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).

Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).

Исследуем знак производной:

при \(x<-1\) имеем \(f'(x)>0\);

при \(-1

при \(x>1\) имеем \(f'(x)>0\).

Следовательно, функция возрастает на \(( -\infty,-1)\) и \((1,+\infty)\), убывает на \((-1,1)\).

В точке \(x=-1\) производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума:

\(f(-1)=-1+3+4=6\).

В точке \(x=1\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума:

\(f(1)=1-3+4=2\).

Скорость — это производная координаты по времени:

\(v(t)=s'(t)=12+6t\).

По условию \(v(t)=30\), значит

\(12+6t=30\).

\(6t=18\).

\(t=3\).

Найдём производную:

\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\).

Критические точки: \(x=-1,0,1\).

Исследуем знак производной:

на \(( -\infty,-1)\) \(f'(x)<0\);

на \((-1,0)\) \(f'(x)>0\);

на \((0,1)\) \(f'(x)<0\);

на \((1,+\infty)\) \(f'(x)>0\).

Значит, функция убывает на \(( -\infty,-1)\) и \((0,1)\), возрастает на \((-1,0)\) и \((1,+\infty)\).

В точках \(x=-1\) и \(x=1\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точки минимума:

\(f(\pm1)=1-2-3=-4\).

В точке \(x=0\) производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума:

\(f(0)=-3\).

У касательной, параллельной прямой \(y=4x-10\), угловой коэффициент равен \(4\).

Найдём производную:

\(f'(x)=4x^3\).

Приравняем производную к 4:

\(4x^3=4\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\).

Найдём ординату точки касания:

\(f(1)=1^4+2=3\).

Точка касания: \((1,3)\).

Составим уравнение касательной:

\(y-3=4(x-1)\).

\(y=4x-1\).

Найдём производную:

\(f'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)\).

Критические точки: \(x=0\) и \(x=4\).

Исследуем знак производной:

при \(x<0\) \(f'(x)<0\);

при \(00\);

при \(x>4\) \(f'(x)<0\).

Следовательно, функция убывает на \(( -\infty,0)\) и \((4,+\infty)\), возрастает на \((0,4)\).

В точке \(x=0\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит это минимум:

\(f(0)=1\).

В точке \(x=4\) производная меняет знак с плюса на минус, значит это максимум:

\(f(4)=-64+96+1=33\).

Ускорение — это производная скорости:

\(a(t)=v'(t)=-3+2t\).

По условию \(a(t)=7\), значит

\(-3+2t=7\).

\(2t=10\).

\(t=5\).

Найдём производную:

\(f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x-2)(x+2)\).

Критические точки: \(x=-2,0,2\).

Исследуем знак производной:

на \(( -\infty,-2)\) \(f'(x)>0\);

на \((-2,0)\) \(f'(x)<0\);

на \((0,2)\) \(f'(x)>0\);

на \((2,+\infty)\) \(f'(x)<0\).

Значит, функция возрастает на \(( -\infty,-2)\) и \((0,2)\), убывает на \((-2,0)\) и \((2,+\infty)\).

В точках \(x=-2\) и \(x=2\) производная меняет знак с плюса на минус, значит это максимумы:

\(f(\pm2)=-16+32-5=11\).

В точке \(x=0\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит это минимум:

\(f(0)=-5\).

Касательная параллельна прямой \(y=2x+8\), значит её угловой коэффициент равен \(2\).

Найдём производную:

\(f'(x)=-2x+4\).

Приравняем её к 2:

\(-2x+4=2\Rightarrow -2x=-2\Rightarrow x=1\).

Найдём точку касания:

\(f(1)=-1+4=3\).

Составим уравнение касательной:

\(y-3=2(x-1)\).

\(y=2x+1\).

Найдём производную:

\(f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\).

Критические точки: \(x=-2\) и \(x=2\).

Знак производной:

на \(( -\infty,-2)\) \(f'(x)>0\);

на \((-2,2)\) \(f'(x)<0\);

на \((2,+\infty)\) \(f'(x)>0\).

Следовательно, функция возрастает на \(( -\infty,-2)\) и \((2,+\infty)\), убывает на \((-2,2)\).

В точке \(x=-2\) имеем максимум:

\(f(-2)=-8+24+6=22\).

В точке \(x=2\) имеем минимум:

\(f(2)=8-24+6=-10\).

Скорость — это производная пути:

\(v(t)=s'(t)=-4+4t\).

По условию \(v(t)=12\), значит

\(-4+4t=12\).

\(4t=16\).

\(t=4\).

Найдём производную:

\(f'(x)=8x^3-8x=8x(x-1)(x+1)\).

Критические точки: \(x=-1,0,1\).

Исследуем знак производной:

на \(( -\infty,-1)\) \(f'(x)<0\);

на \((-1,0)\) \(f'(x)>0\);

на \((0,1)\) \(f'(x)<0\);

на \((1,+\infty)\) \(f'(x)>0\).

Следовательно, функция убывает на \(( -\infty,-1)\) и \((0,1)\), возрастает на \((-1,0)\) и \((1,+\infty)\).

В точках \(x=\pm1\) — минимумы:

\(f(\pm1)=2-4+5=3\).

В точке \(x=0\) — максимум:

\(f(0)=5\).

Угловой коэффициент данной прямой равен \(4\).

Найдём производную функции:

\(f'(x)=-4x^3\).

Приравняем производную к 4:

\(-4x^3=4\Rightarrow x^3=-1\Rightarrow x=-1\).

Найдём точку касания:

\(f(-1)=-(-1)^4+4=-1+4=3\).

Запишем уравнение касательной:

\(y-3=4(x+1)\).

\(y=4x+7\).

Найдём производную:

\(f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)\).

Критические точки: \(x=-2\) и \(x=0\).

Знак производной:

на \(( -\infty,-2)\) \(f'(x)>0\);

на \((-2,0)\) \(f'(x)<0\);

на \((0,+\infty)\) \(f'(x)>0\).

Следовательно, функция возрастает на \(( -\infty,-2)\) и \((0,+\infty)\), убывает на \((-2,0)\).

В точке \(x=-2\) — максимум:

\(f(-2)=-8+12-4=0\).

В точке \(x=0\) — минимум:

\(f(0)=-4\).

Ускорение — это производная скорости:

\(a(t)=v'(t)=-5+2t\).

По условию \(a(t)=11\), поэтому

\(-5+2t=11\).

\(2t=16\).

\(t=8\).

Найдём производную:

\(f'(x)=-12x^3+48x=-12x(x-2)(x+2)\).

Критические точки: \(x=-2,0,2\).

Знак производной:

на \(( -\infty,-2)\) \(f'(x)>0\);

на \((-2,0)\) \(f'(x)<0\);

на \((0,2)\) \(f'(x)>0\);

на \((2,+\infty)\) \(f'(x)<0\).

Следовательно, функция возрастает на \(( -\infty,-2)\) и \((0,2)\), убывает на \((-2,0)\) и \((2,+\infty)\).

В точках \(x=\pm2\) — максимумы:

\(f(\pm2)=-3\cdot16+24\cdot4-15=-48+96-15=33\).

В точке \(x=0\) — минимум:

\(f(0)=-15\).

Угловой коэффициент данной прямой равен \(-2\).

Найдём производную функции:

\(f'(x)=2x+2\).

Приравняем производную к \(-2\):

\(2x+2=-2\Rightarrow 2x=-4\Rightarrow x=-2\).

Найдём точку касания:

\(f(-2)=(-2)^2+2(-2)+5=4-4+5=5\).

Составим уравнение касательной:

\(y-5=-2(x+2)\).

\(y=-2x+1\).