Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge 0\) и \(x=t^2\).

Подставим в уравнение:

\(t^2-t=6\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(t^2-t-6=0\).

Разложим на множители:

\((t-3)(t+2)=0\).

Отсюда \(t=3\) или \(t=-2\).

Но \(t=\sqrt{x}\ge 0\), значит \(t=-2\) не подходит.

Следовательно, \(t=3\), тогда \(x=3^2=9\).

Ответ: \(9\).

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

\(x^2-10=3x\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-3x-10=0\).

Разложим на множители:

\((x-5)(x+2)=0\).

Получаем кандидатов: \(x=5\) и \(x=-2\).

Проверим область допустимых значений: подкоренное выражение \(3x\ge 0\), значит \(x\ge 0\).

Следовательно, \(x=-2\) не подходит, остаётся только \(x=5\).

Ответ: \(5\).

Правая часть равна \(x\), а левая часть — арифметический квадратный корень, поэтому \(x\ge 0\).

Возведём обе части в квадрат:

\(2x+8=x^2\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-2x-8=0\).

Разложим на множители:

\((x-4)(x+2)=0\).

Получаем \(x=4\) или \(x=-2\).

Так как \(x\ge 0\), число \(-2\) не подходит.

Проверка: \(\sqrt{2\cdot4+8}=\sqrt{16}=4\).

Ответ: \(4\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Также должно выполняться условие существования корня: \(2x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 1\).

1) \(\sqrt{2x-2}=0\Rightarrow 2x-2=0\Rightarrow x=1\).

2) \(x^2-25=0\Rightarrow x=\pm5\).

С учётом условия \(x\ge 1\) подходит только \(x=5\).

Итак, корни уравнения: \(1\) и \(5\).

По условию нужно записать их сумму:

\(1+5=6\).

Ответ: \(6\).

Сначала найдём область допустимых значений:

\(2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac12\).

Так как обе части неотрицательны, возведём неравенство в квадрат:

\(2x-1\le 9\).

Отсюда:

\(2x\le 10\Rightarrow x\le 5\).

Итак, \(\dfrac12\le x\le 5\).

Целые значения: \(1,2,3,4,5\).

Их количество равно \(5\).

Ответ: \(5\).