Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge 0\) и \(x=t^2\).

Подставим в уравнение:

\(t^2-t=6\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(t^2-t-6=0\).

Разложим на множители:

\((t-3)(t+2)=0\).

Отсюда \(t=3\) или \(t=-2\).

Но \(t=\sqrt{x}\ge 0\), значит \(t=-2\) не подходит.

Следовательно, \(t=3\), тогда \(x=3^2=9\).

Ответ: \(9\).

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

\(x^2-10=3x\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-3x-10=0\).

Разложим на множители:

\((x-5)(x+2)=0\).

Получаем кандидатов: \(x=5\) и \(x=-2\).

Проверим область допустимых значений: подкоренное выражение \(3x\ge 0\), значит \(x\ge 0\).

Следовательно, \(x=-2\) не подходит, остаётся только \(x=5\).

Ответ: \(5\).

Правая часть равна \(x\), а левая часть — арифметический квадратный корень, поэтому \(x\ge 0\).

Возведём обе части в квадрат:

\(2x+8=x^2\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-2x-8=0\).

Разложим на множители:

\((x-4)(x+2)=0\).

Получаем \(x=4\) или \(x=-2\).

Так как \(x\ge 0\), число \(-2\) не подходит.

Проверка: \(\sqrt{2\cdot4+8}=\sqrt{16}=4\).

Ответ: \(4\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Также должно выполняться условие существования корня: \(2x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 1\).

1) \(\sqrt{2x-2}=0\Rightarrow 2x-2=0\Rightarrow x=1\).

2) \(x^2-25=0\Rightarrow x=\pm5\).

С учётом условия \(x\ge 1\) подходит только \(x=5\).

Итак, корни уравнения: \(1\) и \(5\).

По условию нужно записать их сумму:

\(1+5=6\).

Ответ: \(6\).

Сначала найдём область допустимых значений:

\(2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac12\).

Так как обе части неотрицательны, возведём неравенство в квадрат:

\(2x-1\le 9\).

Отсюда:

\(2x\le 10\Rightarrow x\le 5\).

Итак, \(\dfrac12\le x\le 5\).

Целые значения: \(1,2,3,4,5\).

Их количество равно \(5\).

Ответ: \(5\).

Сначала найдём область допустимых значений:

\(3x-2\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac23\),

\(x+12\ge 0\Rightarrow x\ge -12\).

Значит, \(x\ge \dfrac23\).

Так как функция квадратного корня возрастает, сравним подкоренные выражения:

\(3x-2\le x+12\).

\(2x\le 14\Rightarrow x\le 7\).

Итак, \(\dfrac23\le x\le 7\).

Целые решения: \(1,2,3,4,5,6,7\).

Их количество равно \(7\).

Ответ: \(7\).

Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge 0\) и \(x=t^2\).

Подставим:

\(t^2-2t=15\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(t^2-2t-15=0\).

Разложим на множители:

\((t-5)(t+3)=0\).

Получаем \(t=5\) или \(t=-3\).

Так как \(t\ge 0\), остаётся только \(t=5\).

Тогда \(x=25\).

Ответ: \(25\).

Обе части неотрицательны, поэтому возведём обе части в квадрат:

\(x^2-3=2x\).

Получаем квадратное уравнение:

\(x^2-2x-3=0\).

Разложим на множители:

\((x-3)(x+1)=0\).

Кандидаты: \(x=3\) и \(x=-1\).

Но из условия \(2x\ge 0\), значит \(x\ge 0\).

Следовательно, \(x=-1\) не подходит, остаётся \(x=3\).

Ответ: \(3\).

Так как \(\sqrt{4x-3}=x\), то обязательно \(x\ge 0\).

Возведём обе части в квадрат:

\(4x-3=x^2\).

Получаем:

\(x^2-4x+3=0\).

Разложим на множители:

\((x-1)(x-3)=0\).

Отсюда \(x=1\) или \(x=3\).

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

По условию нужно записать сумму корней:

\(1+3=4\).

Ответ: \(4\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Также должно выполняться условие существования корня: \(3x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -1\).

1) \(\sqrt{3x+3}=0\Rightarrow 3x+3=0\Rightarrow x=-1\).

2) \(x^2-36=0\Rightarrow x=\pm6\).

С учётом условия \(x\ge -1\) подходит только \(x=6\); число \(-6\) не подходит.

Итак, корни уравнения: \(-1\) и \(6\).

По условию требуется записать их сумму:

\(-1+6=5\).

Ответ: \(5\).

Сначала найдём область допустимых значений:

\(2x-5\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac52\).

Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

\(2x-5\le 4\).

Отсюда:

\(2x\le 9\Rightarrow x\le \dfrac92\).

Итак, \(\dfrac52\le x\le \dfrac92\).

Целые решения: \(3\) и \(4\).

Их количество равно \(2\).

Ответ: \(2\).

Найдём область допустимых значений:

\(2x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -\dfrac12\),

\(x+8\ge 0\Rightarrow x\ge -8\).

Следовательно, \(x\ge -\dfrac12\).

Так как функция квадратного корня возрастает, сравним подкоренные выражения:

\(2x+1\le x+8\).

Отсюда:

\(x\le 7\).

Итак, \(-\dfrac12\le x\le 7\).

Целые решения: \(0,1,2,3,4,5,6,7\).

Их количество равно \(8\).

Ответ: \(8\).

Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge 0\) и \(x=t^2\).

Получаем уравнение:

\(t^2-5t=14\).

Переносим всё в одну сторону:

\(t^2-5t-14=0\).

Разложим на множители:

\((t-7)(t+2)=0\).

Отсюда \(t=7\) или \(t=-2\).

Так как \(t\ge 0\), остаётся только \(t=7\).

Тогда \(x=49\).

Ответ: \(49\).

Возведём обе части в квадрат:

\(x^2-7=6x\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2-6x-7=0\).

Разложим на множители:

\((x-7)(x+1)=0\).

Кандидаты: \(x=7\) и \(x=-1\).

Но из условия \(6x\ge 0\), то есть \(x\ge 0\), число \(-1\) не подходит.

Следовательно, остаётся \(x=7\).

Ответ: \(7\).

Так как \(\sqrt{4x+12}=x\), то обязательно \(x\ge 0\).

Возведём обе части в квадрат:

\(4x+12=x^2\).

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2-4x-12=0\).

Разложим на множители:

\((x-6)(x+2)=0\).

Отсюда \(x=6\) или \(x=-2\).

Так как \(x\ge 0\), число \(-2\) не подходит.

Проверка: \(\sqrt{4\cdot6+12}=\sqrt{36}=6\).

Ответ: \(6\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Область допустимых значений: \(5x-10\ge 0\Rightarrow x\ge 2\).

1) \(\sqrt{5x-10}=0\Rightarrow 5x-10=0\Rightarrow x=2\).

2) \(x^2-64=0\Rightarrow x=\pm8\).

С учётом условия \(x\ge 2\) подходит только \(x=8\); число \(-8\) не подходит.

Корни уравнения: \(2\) и \(8\).

По условию записываем их сумму:

\(2+8=10\).

Ответ: \(10\).