Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\).

Получаем уравнение:

\(2\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin x\).

Переносим всё в одну сторону и выносим \(\sin x\) за скобку:

\(\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0\).

Отсюда:

1) \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(2\cos x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\pi n\), or \(x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\tan x\). Тогда \(\cot x=\dfrac{1}{t}\).

Получаем уравнение:

\(t-3=\dfrac{4}{t}\).

Умножим на \(t\):

\(t^2-3t-4=0\).

Разложим на множители:

\((t-4)(t+1)=0\).

Значит, \(t=4\) или \(t=-1\).

Отсюда:

\(\tan x=4\Rightarrow x=\arctan 4+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\tan x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Запишем \(\sin 2x\) через \(\sin x\) и \(\cos x\):

\(2\sin x\cos x+2\sin^2 x=0\).

Вынесем \(2\sin x\) за скобку:

\(2\sin x(\cos x+\sin x)=0\).

Отсюда:

1) \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(\cos x+\sin x=0\Rightarrow \tan x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\cos x\). Тогда получаем квадратное уравнение:

\(2t^2-t=1\Rightarrow 2t^2-t-1=0\).

Разложим на множители:

\((2t+1)(t-1)=0\).

Следовательно, \(t=1\) или \(t=-\dfrac12\).

Отсюда:

\(\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=2\pi n\pm\dfrac{2\pi}{3}\), \(n\in\mathbb Z\).

Используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x+\sqrt{2}\cos x=0\).

Вынесем \(\cos x\):

\(\cos x(2\sin x+\sqrt{2})=0\).

Отсюда:

1) \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(2\sin x+\sqrt{2}=0\Rightarrow \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда \(x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\) или \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).