Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\).

Получаем уравнение:

\(2\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin x\).

Переносим всё в одну сторону и выносим \(\sin x\) за скобку:

\(\sin x(2\cos x-\sqrt{3})=0\).

Отсюда:

1) \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(2\cos x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\pi n\), or \(x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\tan x\). Тогда \(\cot x=\dfrac{1}{t}\).

Получаем уравнение:

\(t-3=\dfrac{4}{t}\).

Умножим на \(t\):

\(t^2-3t-4=0\).

Разложим на множители:

\((t-4)(t+1)=0\).

Значит, \(t=4\) или \(t=-1\).

Отсюда:

\(\tan x=4\Rightarrow x=\arctan 4+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\tan x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Запишем \(\sin 2x\) через \(\sin x\) и \(\cos x\):

\(2\sin x\cos x+2\sin^2 x=0\).

Вынесем \(2\sin x\) за скобку:

\(2\sin x(\cos x+\sin x)=0\).

Отсюда:

1) \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(\cos x+\sin x=0\Rightarrow \tan x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\cos x\). Тогда получаем квадратное уравнение:

\(2t^2-t=1\Rightarrow 2t^2-t-1=0\).

Разложим на множители:

\((2t+1)(t-1)=0\).

Следовательно, \(t=1\) или \(t=-\dfrac12\).

Отсюда:

\(\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=2\pi n\pm\dfrac{2\pi}{3}\), \(n\in\mathbb Z\).

Используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x+\sqrt{2}\cos x=0\).

Вынесем \(\cos x\):

\(\cos x(2\sin x+\sqrt{2})=0\).

Отсюда:

1) \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(2\sin x+\sqrt{2}=0\Rightarrow \sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда \(x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\) или \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Используем формулу \(\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a\):

\(2(\cos^2 2x-\sin^2 2x)=\sqrt{3}\).

То есть

\(2\cos 4x=\sqrt{3}\Rightarrow \cos 4x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Тогда

\(4x=2\pi n\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Делим на 4:

\(x=\dfrac{\pi n}{2}\pm\dfrac{\pi}{24}\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\tan x\). Тогда \(\cot x=\dfrac{1}{t}\).

Получаем:

\(t+1=\dfrac{2}{t}\).

Умножим на \(t\):

\(t^2+t-2=0\).

Разложим на множители:

\((t-1)(t+2)=0\).

Значит, \(t=1\) или \(t=-2\).

Отсюда:

\(\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\tan x=-2\Rightarrow x=-\arctan 2+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Вынесем \(\sin x\) за скобку:

\(\sin x(\cos x-\sin x)=0\).

Отсюда:

1) \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

2) \(\cos x-\sin x=0\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Перенесём \(\cos 5x\) вправо:

\(\sin 5x=-\cos 5x\).

Разделим на \(\cos 5x\) (при \(\cos 5x=0\) левая часть не равна нулю):

\(\tan 5x=-1\).

Тогда

\(5x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Следовательно,

\(x=-\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{\pi n}{5}\), \(n\in\mathbb Z\).

Из уравнения

\(\tan^2 2x=3\)

получаем

\(\tan 2x=\pm\sqrt{3}\).

Тогда

\(2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Делим на 2:

\(x=\dfrac{\pi n}{2}\pm\dfrac{\pi}{6}\), \(n\in\mathbb Z\).

Положим \(t=\sin x\). Тогда

\(2t^2-5t+2=0\).

Разложим на множители:

\((2t-1)(t-2)=0\).

Получаем \(t=\dfrac12\) или \(t=2\).

Но \(\sin x\) не может быть равен 2, значит остаётся только \(\sin x=\dfrac12\).

Отсюда

\(x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) или \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Так как \(\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\), получаем:

\(\tan^2 x+4\tan x=5\).

Положим \(t=\tan x\). Тогда:

\(t^2+4t-5=0\).

Разложим на множители:

\((t-1)(t+5)=0\).

Следовательно, \(t=1\) или \(t=-5\).

Отсюда:

\(\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\);

\(\tan x=-5\Rightarrow x=-\arctan 5+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Перенесём 1 в правую часть:

\(2\sin x\ge 1\Rightarrow \sin x\ge \dfrac12\).

На тригонометрической окружности это означает, что угол \(x\) находится между \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{5\pi}{6}\), включая границы.

С учётом периода \(2\pi\) получаем:

\(x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\;\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\; n\in\mathbb Z\).

Используем формулу двойного угла:

\(2\sin x\cos x=\sin 2x\).

Тогда неравенство принимает вид:

\(\sin 2x<0\).

Синус отрицателен на интервалах \((\pi+2\pi n,\;2\pi+2\pi n)\).

Следовательно,

\(2x\in(\pi+2\pi n,\;2\pi+2\pi n)\).

Делим на 2:

\(x\in\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\;\pi+\pi n\right),\; n\in\mathbb Z\).

Преобразуем неравенство:

\(\sqrt{3}\tan x+3>0\Rightarrow \sqrt{3}\tan x>-3\Rightarrow \tan x>-\sqrt{3}\).

На каждом промежутке \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\;\dfrac{\pi}{2}+\pi n\right)\) функция \(\tan x\) возрастает.

Значение \(-\sqrt{3}\) тангенс принимает при \(x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\).

Следовательно, решение неравенства:

\(x\in\left(-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\;\dfrac{\pi}{2}+\pi n\right),\; n\in\mathbb Z\).

Используем формулу:

\(\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\).

Тогда неравенство принимает вид:

\(\cos 2x\ge 0\).

Косинус неотрицателен на промежутках

\(2x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\;\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right],\; n\in\mathbb Z\).

Делим на 2:

\(x\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\;\dfrac{\pi}{4}+\pi n\right],\; n\in\mathbb Z\).