Рассмотрим одну диагональ равнобедренной трапеции.

Горизонтальная проекция диагонали равна \(\dfrac{12+6}{2}=9\text{ cm}\), а высота равна \(3\sqrt{7}\text{ cm}\).

Тогда длина диагонали:

\(d=\sqrt{9^2+(3\sqrt{7})^2}=\sqrt{81+63}=12\text{ cm}\).

Точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований трапеции:

\(12:6=2:1\).

Следовательно, диагональ длиной \(12\text{ cm}\) делится на части \(8\text{ cm}\) и \(4\text{ cm}\).

Гипотенуза треугольника равна \(\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}\).

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, то есть точка \(M\) делит гипотенузу в отношении \(5:10=1:2\).

Расположим треугольник так: вершина прямого угла — \((0,0)\), концы катетов — \((12,0)\) и \((0,9)\).

Тогда точка \(M\), отстоящая на \(5\text{ cm}\) от вершины меньшего угла, имеет координаты \((8,3)\).

Следовательно, расстояние до вершины прямого угла:

\(OM=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\text{ cm}\).

Центры окружностей, вписанных в один и тот же угол, лежат на биссектрисе этого угла.

Расстояния от вершины угла до центров пропорциональны радиусам окружностей.

Пусть расстояние до центра меньшей окружности равно \(x\). Тогда расстояние до центра большей окружности равно \(\dfrac{6}{4}x=\dfrac{3}{2}x\).

Так как окружности не касаются друг друга, расстояние между их центрами равно разности этих расстояний:

\(\dfrac{3}{2}x-x=13\).

\(\dfrac{x}{2}=13\), откуда \(x=26\text{ cm}\).

Расположим точку \(B\) в начале координат, а сторону \(BC\) на оси \(x\).

Тогда \(B=(0,0)\), \(C=(7,0)\), \(K=(2,0)\).

Найдём координаты точки \(A=(x,y)\) из условий:

\(AB=6\Rightarrow x^2+y^2=36\), \(AC=8\Rightarrow (x-7)^2+y^2=64\).

Вычитая, получаем \(x=\dfrac{3}{2}\), а затем \(y=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), значит \(M=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)\).

Тогда

\(MK^2=\left(2-\dfrac34\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}+\dfrac{135}{16}=10\).

Следовательно, \(MK=\sqrt{10}\text{ cm}\).

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, а расстояния от вершины угла до центров пропорциональны радиусам.

Пусть расстояние до центра меньшей окружности равно \(x\). Тогда до центра большей окружности — \(\dfrac{8}{6}x=\dfrac{4}{3}x\).

Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов:

\(6+8=14\text{ cm}\).

С другой стороны, это расстояние равно разности расстояний до вершины угла:

\(\dfrac{4}{3}x-x=14\).

\(\dfrac{x}{3}=14\), следовательно, \(x=42\text{ cm}\).

Так как основания трапеции параллельны, то \(\angle BCA=\angle CAD\).

По условию \(\angle BAC=\angle CDA\).

Следовательно, треугольники \(BAC\) и \(CDA\) подобны.

Из подобия:

\(\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{CA}{AD}\).

Подставим \(BC=5\), \(AD=20\):

\(\dfrac{5}{CA}=\dfrac{CA}{20}\).

Отсюда \(CA^2=100\), значит \(CA=10\text{ cm}\).

В трапеции точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований:

\(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{20}{5}=4\).

Следовательно, \(AO:OC=4:1\), а вся диагональ \(AC=10\text{ cm}\).

Значит, \(AO=\dfrac{4}{5}\cdot10=8\text{ cm}\).

Обозначим основание через \(a\), а боковые стороны равны \(30\text{ cm}\).

По формуле для стороны через радиус описанной окружности:

\(30=2R\sin\alpha=50\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол при основании.

Следовательно, \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), а \(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\).

Вершинный угол равен \(180^\circ-2\alpha\), поэтому

\(\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}\).

Тогда основание:

\(a=2R\sin(180^\circ-2\alpha)=50\cdot\dfrac{24}{25}=48\text{ cm}\).

Диагональ прямоугольника:

\(AC=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}\).

Точка \(N\) расположена на диагонали так, что \(AN=5\text{ cm}\), значит она делит диагональ в отношении \(1:2\).

Расположим прямоугольник в координатах: \(A=(0,0)\), \(C=(12,9)\), \(D=(0,9)\).

Тогда точка \(N\) имеет координаты \((4,3)\).

Следовательно,

\(DN=\sqrt{(4-0)^2+(3-9)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ cm}\).

Пусть высота опущена на сторону \(BC\) и делит её на отрезки \(16\text{ cm}\) и \(9\text{ cm}\).

Тогда \(BC=25\text{ cm}\).

По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников:

\(AB=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ cm}\), \(AC=\sqrt{12^2+9^2}=15\text{ cm}\).

Получили треугольник со сторонами \(15\), \(20\), \(25\), то есть прямоугольный.

У прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

\(R=\dfrac{25}{2}\text{ cm}\).

Найдём вторую сторону прямоугольника:

\(BC=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ cm}\).

Расположим прямоугольник так: \(A=(0,0)\), \(B=(5,0)\), \(C=(5,12)\), \(D=(0,12)\).

Тогда точка \(N\) имеет координаты \((5,4)\).

Уравнение прямой \(AN\): \(y=\dfrac{4}{5}x\).

Продолжение стороны \(CD\) имеет уравнение \(y=12\).

Найдём точку пересечения:

\(12=\dfrac{4}{5}x\Rightarrow x=15\).

Следовательно, \(M=(15,12)\), а \(D=(0,12)\).

Поэтому \(MD=15\text{ cm}\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.

Половины диагоналей равны \(12\text{ cm}\) и \(9\text{ cm}\).

Следовательно, сторона ромба:

\(BC=\sqrt{12^2+9^2}=15\text{ cm}\).

Выберем систему координат: \(A=(-12,0)\), \(C=(12,0)\), \(B=(0,9)\), \(D=(0,-9)\).

Точка \(E\) делит сторону \(BC\) в отношении \(BE:EC=5:10=1:2\).

Значит, \(E=\left(4,6\right)\).

Тогда

\(AE=\sqrt{(4+12)^2+(6-0)^2}=\sqrt{16^2+6^2}=\sqrt{292}=2\sqrt{73}\text{ cm}\).

Расположим трапецию так: \(A=(0,0)\), \(D=(8,0)\), \(B=(0,h)\), \(C=(6,h)\).

Тогда по условию \(CD=10\text{ cm}\), а значит

\((8-6)^2+h^2=10^2\).

\(4+h^2=100\), откуда \(h^2=96\), значит \(h=4\sqrt{6}\text{ cm}\).

Середина стороны \(CD\) имеет координаты

\(M\left(\dfrac{8+6}{2},\dfrac{0+4\sqrt6}{2}\right)=(7,2\sqrt6)\).

Тогда

\(AM=\sqrt{7^2+(2\sqrt6)^2}=\sqrt{49+24}=\sqrt{73}\text{ cm}\).

Высота к основанию делит основание пополам, то есть на отрезки по \(6\text{ cm}\).

Найдём высоту:

\(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}\).

Площадь треугольника:

\(S=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\text{ cm}^2\).

Радиус описанной окружности находится по формуле:

\(R=\dfrac{abc}{4S}\).

Подставим \(a=10\), \(b=10\), \(c=12\):

\(R=\dfrac{10\cdot10\cdot12}{4\cdot48}=\dfrac{1200}{192}=\dfrac{25}{4}\text{ cm}\).

Рассмотрим треугольник \(DAB\).

Так как \(EF\parallel AB\), то треугольники \(DEF\) и \(DAB\) подобны.

Коэффициент подобия равен:

\(\dfrac{DE}{DA}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).

Следовательно, \(\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{1}{3}\), то есть \(DF=\dfrac{DB}{3}\).

Найдём диагональ \(DB\) из треугольника \(DAB\).

Так как \(DC\parallel AB\), то \(\angle DAB=30^\circ\).

По теореме косинусов:

\(DB^2=AD^2+AB^2-2\cdot AD\cdot AB\cos30^\circ\).

\(DB^2=6^2+(3\sqrt3)^2-2\cdot6\cdot3\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=36+27-54=9\).

Прошу прощения, здесь нужно учитывать, что \(\angle DAB=150^\circ\), так как \(\angle ADC=30^\circ\), а соседние углы параллелограмма supplementary.

Поэтому

\(DB^2=6^2+(3\sqrt3)^2-2\cdot6\cdot3\sqrt3\cos150^\circ=36+27+54=117\).

Значит, \(DB=3\sqrt{13}\text{ cm}\).

Тогда \(DF=\dfrac{DB}{3}=\sqrt{13}\text{ cm}\).

Высота к основанию равнобедренного треугольника делит основание пополам.

Следовательно, половина основания равна \(3\text{ cm}\), а высота:

\(h=\sqrt{15^2-3^2}=\sqrt{225-9}=6\sqrt6\text{ cm}\).

Расположим точки так: \(A=(-3,0)\), \(C=(3,0)\), \(B=(0,6\sqrt6)\).

Так как \(BM=5\text{ cm}\), а \(BC=15\text{ cm}\), то точка \(M\) делит сторону \(BC\) в отношении \(1:2\).

Следовательно, \(M\) находится на одной трети пути от \(B\) к \(C\), то есть \(M=(1,4\sqrt6)\).

Тогда

\(AM=\sqrt{(1+3)^2+(4\sqrt6)^2}=\sqrt{16+96}=\sqrt{112}=4\sqrt7\text{ cm}\).

Расположим прямоугольник в координатах: \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(D=(0,8)\), \(C=(6,8)\).

Так как \(AE=2\text{ cm}\), то \(E=(0,2)\).

Уравнение диагонали \(AC\):

\(y=\dfrac{8}{6}x=\dfrac{4}{3}x\).

Уравнение прямой \(BE\), проходящей через \((6,0)\) и \((0,2)\):

\(y=-\dfrac{1}{3}x+2\).

Найдём координаты точки пересечения:

\(\dfrac{4}{3}x=-\dfrac{1}{3}x+2\Rightarrow \dfrac{5}{3}x=2\Rightarrow x=\dfrac{6}{5}\).

Тогда \(y=\dfrac{8}{5}\).

Точка \(K\) лежит на диагонали \(AC\), длина которой равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}\).

Коэффициент деления равен \(\dfrac{x_K}{x_C}=\dfrac{6/5}{6}=\dfrac{1}{5}\).

Следовательно, \(AK=\dfrac{1}{5}\cdot 10=2\text{ cm}\).