Рассмотрим одну диагональ равнобедренной трапеции.

Горизонтальная проекция диагонали равна \(\dfrac{12+6}{2}=9\text{ cm}\), а высота равна \(3\sqrt{7}\text{ cm}\).

Тогда длина диагонали:

\(d=\sqrt{9^2+(3\sqrt{7})^2}=\sqrt{81+63}=12\text{ cm}\).

Точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований трапеции:

\(12:6=2:1\).

Следовательно, диагональ длиной \(12\text{ cm}\) делится на части \(8\text{ cm}\) и \(4\text{ cm}\).

Гипотенуза треугольника равна \(\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}\).

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, то есть точка \(M\) делит гипотенузу в отношении \(5:10=1:2\).

Расположим треугольник так: вершина прямого угла — \((0,0)\), концы катетов — \((12,0)\) и \((0,9)\).

Тогда точка \(M\), отстоящая на \(5\text{ cm}\) от вершины меньшего угла, имеет координаты \((8,3)\).

Следовательно, расстояние до вершины прямого угла:

\(OM=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\text{ cm}\).

Центры окружностей, вписанных в один и тот же угол, лежат на биссектрисе этого угла.

Расстояния от вершины угла до центров пропорциональны радиусам окружностей.

Пусть расстояние до центра меньшей окружности равно \(x\). Тогда расстояние до центра большей окружности равно \(\dfrac{6}{4}x=\dfrac{3}{2}x\).

Так как окружности не касаются друг друга, расстояние между их центрами равно разности этих расстояний:

\(\dfrac{3}{2}x-x=13\).

\(\dfrac{x}{2}=13\), откуда \(x=26\text{ cm}\).

Расположим точку \(B\) в начале координат, а сторону \(BC\) на оси \(x\).

Тогда \(B=(0,0)\), \(C=(7,0)\), \(K=(2,0)\).

Найдём координаты точки \(A=(x,y)\) из условий:

\(AB=6\Rightarrow x^2+y^2=36\), \(AC=8\Rightarrow (x-7)^2+y^2=64\).

Вычитая, получаем \(x=\dfrac{3}{2}\), а затем \(y=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), значит \(M=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)\).

Тогда

\(MK^2=\left(2-\dfrac34\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}+\dfrac{135}{16}=10\).

Следовательно, \(MK=\sqrt{10}\text{ cm}\).

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, а расстояния от вершины угла до центров пропорциональны радиусам.

Пусть расстояние до центра меньшей окружности равно \(x\). Тогда до центра большей окружности — \(\dfrac{8}{6}x=\dfrac{4}{3}x\).

Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов:

\(6+8=14\text{ cm}\).

С другой стороны, это расстояние равно разности расстояний до вершины угла:

\(\dfrac{4}{3}x-x=14\).

\(\dfrac{x}{3}=14\), следовательно, \(x=42\text{ cm}\).