Найдём радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной \(a\): \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\).

Подставим \(a=8\sqrt{6}\):

\(r=\dfrac{8\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{6}=\dfrac{8\sqrt{18}}{6}=\dfrac{8\cdot3\sqrt{2}}{6}=4\sqrt{2}\text{ cm}\).

Диаметр окружности равен диагонали вписанного квадрата: \(d=2r=8\sqrt{2}\text{ cm}\).

Если сторона квадрата равна \(x\), то \(x\sqrt{2}=8\sqrt{2}\).

Следовательно, \(x=8\text{ cm}\).

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: \(R=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является описанной около правильного треугольника.

Для правильного треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\), откуда \(a=R\sqrt{3}\).

Следовательно, \(a=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=9\text{ cm}\).

У правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности.

Значит, \(r=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является вписанной в правильный треугольник.

Для правильного треугольника \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\).

Отсюда \(a=\dfrac{6r}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=18\text{ cm}\).

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата: \(d=12\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=12\sqrt{12}=24\sqrt{3}\text{ cm}\).

Тогда радиус окружности: \(r=\dfrac{d}{2}=12\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является вписанной в правильный шестиугольник, то есть её радиус равен апофеме шестиугольника.

Для правильного шестиугольника \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, \(a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24\text{ cm}\).

По формуле длины окружности: \(2\pi R=12\pi\sqrt{3}\).

Отсюда \(R=6\sqrt{3}\text{ cm}\).

Для правильного треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Следовательно, \(a=R\sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=18\text{ cm}\).

Из условия: \(\pi r^2=8\pi\).

Следовательно, \(r^2=8\), значит \(r=2\sqrt{2}\text{ cm}\).

Сторона квадрата равна диаметру круга: \(a=2r=4\sqrt{2}\text{ cm}\).

Расстояние от центра квадрата до вершины — это половина диагонали: \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\text{ cm}\).

По формуле длины окружности: \(2\pi r=6\pi\sqrt{3}\).

Отсюда \(r=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Для правильного шестиугольника апофема равна \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, \(a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6\text{ cm}\).

Из формулы площади круга: \(\pi R^2=27\pi\).

Значит, \(R^2=27\), откуда \(R=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Для правильного треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Следовательно, \(a=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=9\text{ cm}\).

По формуле длины окружности: \(2\pi R=2\pi\sqrt{2}\).

Следовательно, \(R=\sqrt{2}\text{ cm}\).

Для квадрата расстояние от центра до стороны равно радиусу вписанной окружности, а он выражается через радиус описанной окружности так: \(r=\dfrac{R}{\sqrt{2}}\).

Тогда \(r=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\text{ cm}\).

Из формулы площади круга: \(\pi r^2=36\pi\).

Следовательно, \(r=6\text{ cm}\).

В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, причём \(R=2r\).

Следовательно, расстояние от центра круга до вершины равно \(R=2\cdot6=12\text{ cm}\).

Расстояние от центра правильного шестиугольника до стороны — это апофема, то есть радиус вписанной окружности.

Для правильного шестиугольника: \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Подставим \(a=4\sqrt{3}\):

\(r=\dfrac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2}=6\text{ cm}\).

Из формулы площади круга: \(\pi R^2=64\pi\).

Следовательно, \(R=8\text{ cm}\).

У правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности.

Значит, сторона шестиугольника равна \(8\text{ cm}\).

Расстояние от центра вписанной окружности до вершины правильного треугольника равно радиусу описанной окружности.

Для правильного треугольника: \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Подставим \(a=12\sqrt{3}\): \(R=\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12\text{ cm}\).

Квадрат вписан в окружность, значит диаметр окружности равен диагонали квадрата.

Диагональ квадрата: \(d=8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=16\text{ cm}\).

Следовательно, радиус окружности равен \(8\text{ cm}\).

У правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность, сторона равна радиусу.

Значит, сторона шестиугольника равна \(8\text{ cm}\).

Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Подставим \(a=4\sqrt{6}\): \(R=\dfrac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{2}\text{ cm}\).

Эта же окружность описана около квадрата.

Для квадрата сторона выражается через радиус описанной окружности формулой \(a=R\sqrt{2}\).

Следовательно, \(a=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8\text{ cm}\).

Для правильного треугольника радиус описанной окружности: \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10\text{ cm}\).

Правильный шестиугольник вписан в ту же окружность, а его сторона равна радиусу этой окружности.

Следовательно, сторона шестиугольника равна \(10\text{ cm}\).