Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла.

Следовательно,

\(\angle AOB=2\cdot 58^\circ=116^\circ\).

Ответ: \(116^\circ\).

Так как \(AB\) — диаметр, дуга \(AB\) верхней полуокружности равна \(180^\circ\).

Тогда дуга \(CB\) равна

\(180^\circ-114^\circ=66^\circ\).

Вписанный угол \(\angle CAB\) опирается на дугу \(CB\), значит он равен половине этой дуги:

\(\angle CAB=\dfrac{66^\circ}{2}=33^\circ\).

Ответ: \(33^\circ\).

Угол между двумя касательными равен \(180^\circ\) минус центральный угол, опирающийся на дугу между точками касания.

Следовательно,

\(\angle AOB=180^\circ-38^\circ=142^\circ\).

Ответ: \(142^\circ\).

Вписанный угол \(\angle CDB\) опирается на дугу \(CB\), поэтому

\(\overset\frown{CB}=2\cdot 44^\circ=88^\circ\).

Вписанный угол \(\angle CAD\) опирается на дугу \(CD\), поэтому

\(\overset\frown{CD}=2\cdot 42^\circ=84^\circ\).

Угол \(\angle BAD\) опирается на дугу \(BD\), не содержащую точку \(A\). Эта дуга состоит из дуг \(BC\) и \(CD\):

\(\overset\frown{BD}=88^\circ+84^\circ=172^\circ\).

Тогда

\(\angle BAD=\dfrac{172^\circ}{2}=86^\circ\).

Ответ: \(86^\circ\).

Угол между хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы дуг, на которые он и вертикальный ему угол опираются.

Следовательно,

\(\angle BND=\dfrac{\overset\frown{BD}+\overset\frown{AC}}{2}=\dfrac{88^\circ+74^\circ}{2}=81^\circ\).

Ответ: \(81^\circ\).

Вписанный угол \(\angle DAB\) опирается на дугу \(DB\), поэтому

\(\overset\frown{DB}=2\cdot 60^\circ=120^\circ\).

Вписанный угол \(\angle CDA\) опирается на дугу \(CA\), поэтому

\(\overset\frown{CA}=2\cdot 20^\circ=40^\circ\).

Угол \(\angle ANB\) и вертикальный ему угол опираются на дуги \(AB\) и \(CD\), сумма которых равна

\(360^\circ-120^\circ-40^\circ=200^\circ\).

Следовательно,

\(\angle ANB=\dfrac{200^\circ}{2}=100^\circ\).

Ответ: \(100^\circ\).

Вписанный угол \(\angle NDA\) опирается на дугу \(NA\), поэтому

\(\overset\frown{NA}=2\cdot 32^\circ=64^\circ\).

Так как \(DA\) — диаметр, дуга \(DNA\) равна \(180^\circ\).

Тогда дуга \(ND\) равна

\(180^\circ-64^\circ=116^\circ\).

Угол \(\angle NMD\) — вписанный, он опирается на дугу \(ND\), значит

\(\angle NMD=\dfrac{116^\circ}{2}=58^\circ\).

Ответ: \(58^\circ\).

По отметкам на рисунке дуги \(BC\) и \(CA\) равны, значит хорды \(BC\) и \(CA\) равны. Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный, и углы при основании равны:

\(\angle BAC=\angle ABC\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому

\(\angle BAC=\angle ABC=\dfrac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ\).

Ответ: \(63^\circ\).

Так как \(AB\) — диаметр, дуга верхней полуокружности равна \(180^\circ\).

Тогда дуга \(CB\) равна

\(180^\circ-112^\circ=68^\circ\).

Вписанный угол \(\angle CAB\) опирается на дугу \(CB\), поэтому

\(\angle CAB=\dfrac{68^\circ}{2}=34^\circ\).

Ответ: \(34^\circ\).

Угол между касательными равен \(180^\circ\) минус центральный угол, опирающийся на дугу между точками касания.

Следовательно,

\(\angle AOB=180^\circ-113^\circ=67^\circ\).

Ответ: \(67^\circ\).

Угол \(\angle CDB\) опирается на дугу \(CB\), значит

\(\overset\frown{CB}=2\cdot 42^\circ=84^\circ\).

Угол \(\angle CAD\) опирается на дугу \(CD\), значит

\(\overset\frown{CD}=2\cdot 45^\circ=90^\circ\).

Угол \(\angle BAD\) опирается на дугу \(BD\), не содержащую точку \(A\):

\(\overset\frown{BD}=84^\circ+90^\circ=174^\circ\).

Следовательно,

\(\angle BAD=\dfrac{174^\circ}{2}=87^\circ\).

Ответ: \(87^\circ\).

Угол между пересекающимися внутри окружности хордами равен половине суммы соответствующих дуг:

\(\angle BND=\dfrac{\overset\frown{AC}+\overset\frown{BD}}{2}=\dfrac{72^\circ+86^\circ}{2}=79^\circ\).

Ответ: \(79^\circ\).

Угол \(\angle DAB\) опирается на дугу \(DB\), значит

\(\overset\frown{DB}=2\cdot 42^\circ=84^\circ\).

Угол \(\angle CDA\) опирается на дугу \(CA\), значит

\(\overset\frown{CA}=2\cdot 27^\circ=54^\circ\).

Тогда дуги \(AB\) и \(CD\) вместе имеют градусную меру

\(360^\circ-84^\circ-54^\circ=222^\circ\).

Угол между пересекающимися хордами:

\(\angle ANB=\dfrac{222^\circ}{2}=111^\circ\).

Ответ: \(111^\circ\).

Вписанный угол \(\angle NDA\) опирается на дугу \(NA\), следовательно,

\(\overset\frown{NA}=2\cdot 36^\circ=72^\circ\).

Так как \(DA\) — диаметр, дуга \(DNA\) равна \(180^\circ\).

Тогда дуга \(ND\) равна

\(180^\circ-72^\circ=108^\circ\).

Угол \(\angle NMD\) вписанный и опирается на дугу \(ND\), поэтому

\(\angle NMD=\dfrac{108^\circ}{2}=54^\circ\).

Ответ: \(54^\circ\).

Угол между касательными равен \(180^\circ\) минус центральный угол, опирающийся на дугу между точками касания.

Следовательно,

\(\angle AOB=180^\circ-46^\circ=134^\circ\).

Ответ: \(134^\circ\).

Угол \(\angle CDB\) опирается на дугу \(CB\), значит

\(\overset\frown{CB}=2\cdot 46^\circ=92^\circ\).

Угол \(\angle CAD\) опирается на дугу \(CD\), значит

\(\overset\frown{CD}=2\cdot 41^\circ=82^\circ\).

Угол \(\angle BAD\) опирается на дугу \(BD\), не содержащую точку \(A\):

\(\overset\frown{BD}=92^\circ+82^\circ=174^\circ\).

Тогда

\(\angle BAD=\dfrac{174^\circ}{2}=87^\circ\).

Ответ: \(87^\circ\).