В равнобедренной трапеции опустим высоты к большему основанию.

Тогда разность оснований равна \(14-6=8\text{ cm}\), значит на каждом конце получаем отрезок по \(4\text{ cm}\).

Высота трапеции находится из прямоугольного треугольника:

\(h=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ cm}\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{14+6}{2}\cdot 3=10\cdot 3=30\text{ cm}^2\).

Разность оснований равна \(12-6=6\text{ cm}\).

Так как трапеция равнобедренная, после опускания высот получаем по \(3\text{ cm}\) с каждой стороны.

При угле \(45^\circ\) высота равна этому отрезку:

\(h=3\tan 45^\circ=3\text{ cm}\).

Тогда площадь равна:

\(S=\dfrac{6+12}{2}\cdot 3=9\cdot 3=27\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других — дополнительные.

Если один угол равен \(135^\circ\), то другой непрямой угол равен \(45^\circ\).

Разность оснований равна \(14-6=8\text{ cm}\).

При угле \(45^\circ\) высота равна горизонтальному отрезку, то есть \(h=8\text{ cm}\).

Следовательно,

\(S=\dfrac{14+6}{2}\cdot 8=10\cdot 8=80\text{ cm}^2\).

Площадь ромба выражается формулой:

\(S=\dfrac{d_1d_2}{2}\).

Подставим данные:

\(24=\dfrac{12\cdot d_2}{2}\), откуда \(d_2=4\text{ cm}\).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам, значит половины диагоналей равны \(6\text{ cm}\) и \(2\text{ cm}\).

Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\(a=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\text{ cm}\).

Разность оснований равна \(16-6=10\text{ cm}\).

Большая боковая сторона — наклонная сторона длиной \(26\text{ cm}\).

Высота трапеции находится по теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=24\text{ cm}\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{16+6}{2}\cdot 24=11\cdot 24=264\text{ cm}^2\).

Половина данной диагонали равна \(5\text{ cm}\).

Пусть половина второй диагонали равна \(x\).

Тогда в прямоугольном треугольнике:

\(13^2=5^2+x^2\).

\(169=25+x^2\), значит \(x^2=144\), откуда \(x=12\).

Следовательно, вторая диагональ равна \(24\text{ cm}\).

Площадь ромба:

\(S=\dfrac{10\cdot 24}{2}=120\text{ cm}^2\).

Высота к основанию делит основание пополам.

Половина основания равна \(5\text{ cm}\).

Высота:

\(h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ cm}\).

Площадь треугольника:

\(S=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60\text{ cm}^2\).

Пусть второй катет равен \(x\).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot x=30\).

Отсюда \(5x=30\), значит \(x=6\text{ cm}\).

Тогда гипотенуза:

\(c=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\text{ cm}\).

Найдём вторую сторону прямоугольника:

\(b=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm}\).

Площадь прямоугольника:

\(S=8\cdot 6=48\text{ cm}^2\).

Диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника равной площади.

Следовательно, площадь каждого треугольника равна:

\(\dfrac{48}{4}=12\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона — это высота, значит \(h=6\text{ cm}\).

Большая боковая сторона равна \(10\text{ cm}\).

Разность оснований найдём из прямоугольного треугольника:

\(x=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ cm}\).

Тогда большее основание равно \(8+8=16\text{ cm}\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{8+16}{2}\cdot 6=12\cdot 6=72\text{ cm}^2\).

Площадь трапеции можно найти по формуле \(S=mh\), где \(m\) — средняя линия.

Найдём высоту. Боковая сторона равна \(8\text{ cm}\) и образует с основанием угол \(30^\circ\), значит

\(h=8\sin 30^\circ=8\cdot \dfrac12=4\text{ cm}\).

Тогда

\(S=12\cdot 4=48\text{ cm}^2\).

Найдём высоту к основанию:

\(30=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot h\), откуда \(h=6\text{ cm}\).

Высота делит основание пополам, значит половина основания равна \(5\text{ cm}\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\(a=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}\text{ cm}\).

Найдём второй катет:

\(b=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=12\text{ cm}\).

Площадь исходного прямоугольного треугольника:

\(S=\dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96\text{ cm}^2\).

Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом \(\dfrac12\).

Следовательно, его площадь в \(4\) раза меньше:

\(S_{\text{ср. линий}}=\dfrac{96}{4}=24\text{ cm}^2\).

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона — это высота, поэтому \(h=4\text{ cm}\).

Если один из непрямых углов равен \(135^\circ\), то другой равен \(45^\circ\).

При угле \(45^\circ\) разность оснований равна высоте, то есть \(4\text{ cm}\).

Так как меньшее основание равно \(4\text{ cm}\), большее основание равно \(8\text{ cm}\).

Следовательно,

\(S=\dfrac{4+8}{2}\cdot 4=6\cdot 4=24\text{ cm}^2\).

Сначала найдём высоту трапеции:

\(180=\dfrac{6+24}{2}\cdot h=15h\).

Следовательно, \(h=12\text{ cm}\).

Разность оснований равна \(24-6=18\text{ cm}\), значит на каждом конце по \(9\text{ cm}\).

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами \(12\) и \(9\):

\(c=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=15\text{ cm}\).

Прямой угол равен \(90^\circ\). Если диагональ делит его в отношении \(1:2\), то получаются углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где диагональ — гипотенуза длиной \(8\text{ cm}\).

В треугольнике \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) катеты равны \(4\text{ cm}\) и \(4\sqrt{3}\text{ cm}\).

Следовательно, площадь прямоугольника равна:

\(S=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{ cm}^2\).