Левая секущая образует с прямой \(a\) угол \(55^\circ\), а правая секущая образует с прямой \(b\) угол \(63^\circ\).

Так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, эти углы являются острыми углами наклона секущих к параллельным прямым.

Угол при вершине между секущими равен:

\(x=180^\circ-55^\circ-63^\circ=62^\circ\).

Ответ: \(62^\circ\).

Одна секущая образует с параллельной прямой угол \(58^\circ\), а другая — угол \(62^\circ\).

Тогда угол между секущими при вершине равен:

\(x=180^\circ-58^\circ-62^\circ=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+30^\circ\).

Составим уравнение:

\(x+(x+30^\circ)=180^\circ\).

\(2x=150^\circ\Rightarrow x=75^\circ\).

Тогда больший угол:

\(75^\circ+30^\circ=105^\circ\).

Ответ: \(105^\circ\).

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(3x\).

Тогда

\(x+3x=180^\circ\).

\(4x=180^\circ\Rightarrow x=45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, а соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+40^\circ\).

Тогда

\(x+(x+40^\circ)=180^\circ\).

\(2x=140^\circ\Rightarrow x=70^\circ\).

Ответ: \(70^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(4x\).

Соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до \(180^\circ\):

\(x+4x=180^\circ\).

\(5x=180^\circ\Rightarrow x=36^\circ\).

Тогда больший угол:

\(4\cdot 36^\circ=144^\circ\).

Ответ: \(144^\circ\).

В ромбе противоположные углы равны, а соседние — дополнительные.

Если \(\angle B=130^\circ\), то

\(\angle C=180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

Диагональ ромба делит углы, из которых она выходит, пополам. Значит диагональ \(AC\) делит угол \(C\) пополам.

Следовательно,

\(x=\dfrac{50^\circ}{2}=25^\circ\).

Ответ: \(25^\circ\).

В ромбе диагональ \(AC\) делит углы при вершинах \(A\) и \(C\) пополам.

Поэтому если \(\angle CAD=24^\circ\), то весь угол при вершине \(A\) равен

\(\angle DAB=2\cdot 24^\circ=48^\circ\).

Соседние углы ромба дополнительны, значит

\(x=\angle ABC=180^\circ-48^\circ=132^\circ\).

Ответ: \(132^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), а угол \(A\) равен \(34^\circ\).

Тогда угол \(B\):

\(\angle B=180^\circ-90^\circ-34^\circ=56^\circ\).

Так как \(BD\) — биссектриса угла \(B\), она делит этот угол пополам:

\(x=\dfrac{56^\circ}{2}=28^\circ\).

Ответ: \(28^\circ\).

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), углы при основании равны.

По рисунку угол при вершине \(C\) равен \(48^\circ\).

Тогда каждый угол при основании равен

\(\dfrac{180^\circ-48^\circ}{2}=66^\circ\).

Так как \(BD\) — биссектриса угла \(ABC\), имеем

\(x=\dfrac{66^\circ}{2}=33^\circ\).

Ответ: \(33^\circ\).

По рисунку угол при вершине \(C\) равен \(50^\circ\), а половина угла при вершине \(B\) равна \(26^\circ\), так как \(BD\) — биссектриса.

Следовательно,

\(\angle B=2\cdot 26^\circ=52^\circ\).

Тогда угол \(A\) равен

\(x=180^\circ-50^\circ-52^\circ=78^\circ\).

Ответ: \(78^\circ\).

По рисунку одна половина угла \(ABC\) равна \(29^\circ\). Так как \(BD\) — биссектриса, то весь угол \(B\) равен

\(58^\circ\).

Треугольник \(ABC\) прямоугольный, поэтому

\(x=\angle A=180^\circ-90^\circ-58^\circ=32^\circ\).

Ответ: \(32^\circ\).

По рисунку угол при вершине \(C\) равен \(64^\circ\), а биссектриса \(BD\) делит угол при вершине \(B\) пополам, причём одна половина равна \(28^\circ\).

Следовательно, в треугольнике \(CBD\):

\(\angle CBD=28^\circ,\quad \angle BCD=64^\circ\).

Тогда

\(x=\angle CDB=180^\circ-64^\circ-28^\circ=88^\circ\).

Ответ: \(88^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), образованный диагональю \(AC\).

По рисунку

\(\angle BAC=32^\circ,\quad \angle BCA=18^\circ\).

Тогда

\(\angle ABC=180^\circ-32^\circ-18^\circ=130^\circ\).

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно,

\(x=\angle D=\angle B=130^\circ\).

Ответ: \(130^\circ\).

В параллелограмме противоположные углы равны, значит

\(\angle B=\angle D=123^\circ\).

Диагональ \(AC\) образует в треугольнике \(ABC\) угол \(34^\circ\) при вершине \(A\), а искомый угол \(x\) — при вершине \(C\).

Тогда в треугольнике \(ABC\):

\(34^\circ+123^\circ+x=180^\circ\).

Отсюда

\(x=23^\circ\).

Ответ: \(23^\circ\).

По рисунку угол между биссектрисой \(BD\) и стороной \(BC\) равен \(26^\circ\).

Так как \(BD\) — биссектриса угла \(B\), то

\(\angle B=2\cdot 26^\circ=52^\circ\).

Высота \(AN\) перпендикулярна стороне \(BC\), значит угол между \(AN\) и \(AB\) дополняет угол \(B\) до \(90^\circ\):

\(x=90^\circ-52^\circ=38^\circ\).

Ответ: \(38^\circ\).