Пусть первый член прогрессии равен \(a_1\), а разность равна \(d\).

По формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\) получаем:

\[\left\{\begin{aligned}a_1+2d=6\\ a_1+4d=12\end{aligned}\right.\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[2d=6\]

Следовательно, \(d=3\).

Тогда \(a_1=6-2\cdot 3=0\).

Сумма первых шести членов:

\[S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3(0+15)=45\]

Ответ: 45.

Пусть первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\).

По формуле \(b_n=b_1q^{n-1}\) имеем:

\[\left\{\begin{aligned}b_1q^2=60\\ b_1q^3=30\end{aligned}\right.\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[q=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\]

Тогда \(b_1\cdot \left(\frac12\right)^2=60\), откуда \(b_1=240\).

Первые пять членов: \(240,120,60,30,15\).

Следовательно,

\[S_5=240+120+60+30+15=465\]

Ответ: 465.

По формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\):

\[a_5=a_1+4d=12\]

Подставим \(d=4\):

\[a_1+16=12\]

Следовательно, \(a_1=-4\).

Теперь найдём сумму первых семи членов:

\[S_7=\frac{7}{2}\bigl(2a_1+6d\bigr)=\frac{7}{2}(-8+24)=\frac{7}{2}\cdot 16=56\]

Ответ: 56.

По формуле \(b_2=b_1q\) имеем:

\[b_1\cdot 2=4\]

Следовательно, \(b_1=2\).

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

\[S_5=b_1\frac{q^5-1}{q-1}=2\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=2\cdot 31=62\]

Ответ: 62.

Для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\).

Тогда:

\[a_5-a_3=(a_1+4d)-(a_1+2d)=2d\]

По условию \(2d=6\), значит \(d=3\).

Теперь найдём десятый член:

\[a_{10}=a_1+9d=20+9\cdot 3=47\]

Ответ: 47.

Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\).

Тогда:

\[b_2=10q,\qquad b_5=10q^4\]

По условию \(b_5=27b_2\), поэтому

\[10q^4=27\cdot 10q\]

\[q^3=27\]

Следовательно, \(q=3\).

Тогда

\[b_5=10\cdot 3^4=10\cdot 81=810\]

Ответ: 810.

Пусть первый член равен \(a_1\), а разность равна \(d\).

Тогда:

\[\left\{\begin{aligned}a_1+d=20\\ a_1+3d=16\end{aligned}\right.\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[2d=-4\]

Следовательно, \(d=-2\).

Тогда \(a_1=20-(-2)=22\).

Ищем сумму первых пяти членов:

\[S_5=\frac{5}{2}\bigl(2a_1+4d\bigr)=\frac{5}{2}(44-8)=\frac{5}{2}\cdot 36=90\]

Ответ: 90.

Пусть первый член равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\).

Тогда:

\[\left\{\begin{aligned}b_1q=6\\ b_1q^2=18\end{aligned}\right.\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[q=\frac{18}{6}=3\]

Тогда \(b_1=\frac{6}{3}=2\).

Найдём сумму первых четырёх членов:

\[S_4=b_1\frac{q^4-1}{q-1}=2\cdot\frac{3^4-1}{3-1}=2\cdot\frac{80}{2}=80\]

Ответ: 80.

По формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\):

\[a_8=a_1+7d=40\]

Подставим \(d=5\):

\[a_1+35=40\]

Отсюда \(a_1=5\).

Теперь найдём сумму первых семи членов:

\[S_7=\frac{7}{2}\bigl(2a_1+6d\bigr)=\frac{7}{2}(10+30)=\frac{7}{2}\cdot 40=140\]

Ответ: 140.

По формуле \(b_2=b_1q\):

\[b_1\cdot 5=10\]

Отсюда \(b_1=2\).

Тогда сумма первых четырёх членов равна:

\[S_4=b_1\frac{q^4-1}{q-1}=2\cdot\frac{5^4-1}{5-1}=2\cdot\frac{624}{4}=312\]

Ответ: 312.

Для арифметической прогрессии:

\[a_6-a_2=(a_1+5d)-(a_1+d)=4d\]

По условию \(4d=16\), значит \(d=4\).

Тогда пятый член равен:

\[a_5=a_1+4d=8+4\cdot 4=24\]

Ответ: 24.

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен \(q\).

Тогда:

\[b_6=7q^5,\qquad b_3=7q^2\]

По условию:

\[7q^5=8\cdot 7q^2\]

\[q^3=8\]

Следовательно, \(q=2\).

Тогда четвёртый член:

\[b_4=7\cdot 2^3=56\]

Ответ: 56.

Как и в задаче на ту же прогрессию, получаем систему:

\[\left\{\begin{aligned}a_1+2d=6\\ a_1+4d=12\end{aligned}\right.\]

Отсюда \(2d=6\), значит \(d=3\).

Тогда \(a_1=6-2\cdot 3=0\).

Сумма первых десяти членов:

\[S_{10}=\frac{10}{2}\bigl(2a_1+9d\bigr)=5(0+27)=135\]

Ответ: 135.

Пусть первый член равен \(b_1\), знаменатель — \(q\).

Тогда:

\[\left\{\begin{aligned}b_1q=40\\ b_1q^2=20\end{aligned}\right.\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[q=\frac{20}{40}=\frac12\]

Тогда \(b_1=\frac{40}{1/2}=80\).

Первые четыре члена: \(80,40,20,10\).

Следовательно,

\[S_4=80+40+20+10=150\]

Ответ: 150.

Имеем:

\[a_5-a_3=(a_1+4d)-(a_1+2d)=2d\]

По условию \(2d=40\), значит \(d=20\).

Теперь шестой член:

\[a_6=a_1+5d=5+5\cdot 20=105\]

Ответ: 105.

Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\).

Тогда:

\[b_2=20q,\qquad b_5=20q^4\]

По условию:

\[20q^4=8\cdot 20q\]

\[q^3=8\]

Следовательно, \(q=2\).

Четвёртый член равен:

\[b_4=20\cdot 2^3=160\]

Ответ: 160.