Так как все боковые рёбра равны, проекция вершины пирамиды на основание — центр прямоугольника.

Диагональ основания равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}\), значит расстояние от центра до вершины основания равно \(5\text{ cm}\).

Пусть высота пирамиды равна \(h\). Тогда

\(h^2+5^2=61\Rightarrow h=6\text{ cm}\).

Площадь основания: \(6\cdot 8=48\text{ cm}^2\).

Объём: \(V=\dfrac13\cdot 48\cdot 6=96\text{ cm}^3\).

Ответ: \(96\text{ cm}^3\).

Если диагональ квадрата равна \(10\sqrt2\), то его сторона \(a=10\text{ cm}\).

Площадь основания: \(a^2=100\text{ cm}^2\).

Пусть \(O\) — центр основания, \(M\) — середина стороны. Тогда \(OM=\dfrac a2=5\text{ cm}\).

В треугольнике \(SOM\) угол \(\angle SMO\) равен углу наклона боковой грани к основанию, то есть \(60^\circ\).

\(\cos60^\circ=\dfrac{OM}{SM}=\dfrac5{SM}\Rightarrow SM=10\text{ cm}\).

Это апофема пирамиды. Площадь одной боковой грани: \(\dfrac12\cdot 10\cdot 10=50\text{ cm}^2\).

Боковая поверхность: \(4\cdot 50=200\text{ cm}^2\).

Полная поверхность: \(100+200=300\text{ cm}^2\).

Ответ: \(300\text{ cm}^2\).

Если все боковые грани наклонены к основанию под одним углом, то проекция вершины пирамиды на основание — центр вписанной окружности основания. Для ромба это точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба: \(S=\dfrac{40\cdot 30}{2}=600\text{ cm}^2\).

Его сторона: \(a=\sqrt{20^2+15^2}=25\text{ cm}\).

Полупериметр: \(p=2a=50\text{ cm}\).

Радиус вписанной окружности: \(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{600}{50}=12\text{ cm}\).

При угле \(45^\circ\) имеем \(\tan45^\circ=1\), значит высота пирамиды равна этому расстоянию: \(h=r=12\text{ cm}\).

Ответ: \(12\text{ cm}\).

Сторона квадрата основания: \(a=\sqrt{32}=4\sqrt2\text{ cm}\).

Пусть \(O\) — центр основания. Тогда \(OM=OK=\dfrac a2=2\sqrt2\text{ cm}\), а \(SO=2\sqrt3\text{ cm}\).

По теореме Пифагора:

\(SM=SK=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{12+8}=2\sqrt5\text{ cm}\).

Отрезок \(MK\) соединяет середины соседних сторон квадрата, поэтому

\(MK=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=4\text{ cm}\).

Треугольник \(SMK\) равнобедренный со сторонами \(2\sqrt5,2\sqrt5,4\). Его высота к основанию \(MK\): \(\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=4\text{ cm}\).

Площадь сечения: \(\dfrac12\cdot 4\cdot 4=8\text{ cm}^2\).

Ответ: \(8\text{ cm}^2\).

Гипотенуза прямоугольного треугольника основания: \(\sqrt{10^2+24^2}=26\text{ cm}\).

Если все боковые рёбра равны, проекция вершины пирамиды — центр описанной окружности основания. Для прямоугольного треугольника это середина гипотенузы.

Радиус описанной окружности: \(R=13\text{ cm}\).

Пусть высота пирамиды \(h\). Тогда

\(h^2+13^2=269\Rightarrow h=10\text{ cm}\).

Площадь основания: \(\dfrac{10\cdot 24}{2}=120\text{ cm}^2\).

Объём: \(V=\dfrac13\cdot 120\cdot 10=400\text{ cm}^3\).

Ответ: \(400\text{ cm}^3\).