Диагональ квадрата равна \(4\sqrt{2}\text{ cm}\). Тогда его сторона равна

\(a=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\text{ cm}\).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\). По условию это квадрат, значит

\(h=2r=4\).

Следовательно, \(r=2\text{ cm}\), \(h=4\text{ cm}\).

Полная поверхность цилиндра:

\(S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\).

Подставим данные и \(\pi=3\):

\(S_{\text{полн}}=2\cdot 3\cdot 2\cdot (2+4)=72\text{ cm}^2\).

Ответ: \(72\).

Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2\). По условию

\(\pi r^2=9\pi\).

Следовательно, \(r^2=9\), откуда \(r=3\text{ cm}\).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\).

Тогда его площадь:

\(S=2r\cdot h=2\cdot 3\cdot 5=30\text{ cm}^2\).

Ответ: \(30\).

Если шар вписан в куб, то его диаметр равен ребру куба:

\(d=4\text{ cm}\).

Тогда радиус шара:

\(r=2\text{ cm}\).

Объём шара:

\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\).

Так как \(\pi=3\), получаем

\(V=\dfrac{4}{3}\cdot 3\cdot 2^3=4\cdot 8=32\text{ cm}^3\).

Ответ: \(32\).

Сечение шара плоскостью — круг. Если радиус шара \(R=6\text{ cm}\), а расстояние от центра до плоскости \(d=4\text{ cm}\), то радиус сечения \(r\) находится по теореме Пифагора:

\(r^2=R^2-d^2=6^2-4^2=36-16=20\).

Следовательно, площадь сечения:

\(S=\pi r^2=\pi\cdot 20\).

При \(\pi=3\):

\(S=3\cdot 20=60\text{ cm}^2\).

Ответ: \(60\).

Если шар вписан в цилиндр, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара.

Значит

\(r=1\text{ cm},\quad h=2\text{ cm}\).

Объём цилиндра:

\(V=\pi r^2h\).

Подставим значения и \(\pi=3\):

\(V=3\cdot 1^2\cdot 2=6\text{ cm}^3\).

Ответ: \(6\).