Найдём радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника со стороной \(a\): \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\).

Подставим \(a=8\sqrt{6}\):

\(r=\dfrac{8\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{6}=\dfrac{8\sqrt{18}}{6}=\dfrac{8\cdot3\sqrt{2}}{6}=4\sqrt{2}\text{ cm}\).

Диаметр окружности равен диагонали вписанного квадрата: \(d=2r=8\sqrt{2}\text{ cm}\).

Если сторона квадрата равна \(x\), то \(x\sqrt{2}=8\sqrt{2}\).

Следовательно, \(x=8\text{ cm}\).

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: \(R=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является описанной около правильного треугольника.

Для правильного треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\), откуда \(a=R\sqrt{3}\).

Следовательно, \(a=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=9\text{ cm}\).

У правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности.

Значит, \(r=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является вписанной в правильный треугольник.

Для правильного треугольника \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\).

Отсюда \(a=\dfrac{6r}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\cdot3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=18\text{ cm}\).

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата: \(d=12\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=12\sqrt{12}=24\sqrt{3}\text{ cm}\).

Тогда радиус окружности: \(r=\dfrac{d}{2}=12\sqrt{3}\text{ cm}\).

Эта окружность является вписанной в правильный шестиугольник, то есть её радиус равен апофеме шестиугольника.

Для правильного шестиугольника \(r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Следовательно, \(a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24\text{ cm}\).

По формуле длины окружности: \(2\pi R=12\pi\sqrt{3}\).

Отсюда \(R=6\sqrt{3}\text{ cm}\).

Для правильного треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\).

Следовательно, \(a=R\sqrt{3}=6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=18\text{ cm}\).