Пусть первый член прогрессии равен \(a_1\), а разность равна \(d\).

По формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\) получаем:

\[\left\{\begin{aligned}a_1+2d=6\\ a_1+4d=12\end{aligned}\right.\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[2d=6\]

Следовательно, \(d=3\).

Тогда \(a_1=6-2\cdot 3=0\).

Сумма первых шести членов:

\[S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3(0+15)=45\]

Ответ: 45.

Пусть первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\).

По формуле \(b_n=b_1q^{n-1}\) имеем:

\[\left\{\begin{aligned}b_1q^2=60\\ b_1q^3=30\end{aligned}\right.\]

Разделим второе уравнение на первое:

\[q=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\]

Тогда \(b_1\cdot \left(\frac12\right)^2=60\), откуда \(b_1=240\).

Первые пять членов: \(240,120,60,30,15\).

Следовательно,

\[S_5=240+120+60+30+15=465\]

Ответ: 465.

По формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\):

\[a_5=a_1+4d=12\]

Подставим \(d=4\):

\[a_1+16=12\]

Следовательно, \(a_1=-4\).

Теперь найдём сумму первых семи членов:

\[S_7=\frac{7}{2}\bigl(2a_1+6d\bigr)=\frac{7}{2}(-8+24)=\frac{7}{2}\cdot 16=56\]

Ответ: 56.

По формуле \(b_2=b_1q\) имеем:

\[b_1\cdot 2=4\]

Следовательно, \(b_1=2\).

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

\[S_5=b_1\frac{q^5-1}{q-1}=2\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=2\cdot 31=62\]

Ответ: 62.

Для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\).

Тогда:

\[a_5-a_3=(a_1+4d)-(a_1+2d)=2d\]

По условию \(2d=6\), значит \(d=3\).

Теперь найдём десятый член:

\[a_{10}=a_1+9d=20+9\cdot 3=47\]

Ответ: 47.