Сумма цифр четырёхзначного числа не превосходит 36, поэтому у восхитительного числа она должна быть равна 25. Поскольку восхитительное число делится на 25, оно оканчивается либо на 00, либо на 50, либо на 25, либо на 75. Если четырёхзначное число оканчивается на 00 или 50, то его сумма цифр не превосходит 9 + 9 + 5 = 23, что нас не устраивает. Если восхитительное число оканчивается на 25, то сумма первых двух цифр должна быть равна 18. Тогда это может быть только число 9925, но у него произведение цифр не делится на 25. Значит, восхитительное число может оканчиваться только на 75. При этом сумма первых его двух цифр равна 13, а их произведение должно делиться на 5. Тогда эти две цифры — 5 и 8 (в любом порядке).

Преобразуем данную сумму: \( 13^{2013} + 13^{2014} + 13^{2015} = 13^{2013}(1 + 13 + 13^2) \). Заметим, что \( 13^2 = 169 \equiv 46 \pmod{61} \), поэтому \( 1 + 13 + 13^2 \equiv 1 + 13 + 46 \equiv 60 \equiv -1 \pmod{61} \). Следовательно, \( 13^{2013}(1 + 13 + 13^2) \equiv 13^{2013} imes (-1) \equiv -13^{2013} \equiv 0 \pmod{61} \), так как \( 13^{2013} \equiv 0 \pmod{61} \). Значит, данная сумма делится на 61.

Предположим, что в каждом квадрате \(2 \times 2\) стоит \(m\) фигур, а в каждом прямоугольнике \(1 \times 3\) — \(n\) фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник \(2 \times 6\). С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата \(2 \times 2\), и значит в нём \(3m\) фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника \(1 \times 3\), и тогда в нём \(4n\) фигур. Получаем соотношение \(3m = 4n\), откуда \(n\) делится на 3. Но \(n\) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, \(n = 0\) или \(n = 3\). Иными словами, либо все прямоугольники \(1 \times 3\) пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники \(1 \times 3\) полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.

Способ 1 (поиск чисел). Пусть сумма чисел от a до a + 2014 оканчивается той же цифрой, что и сумма чисел от a + 2015 до a + 4033. Тогда разность между этими суммами, равная (a + 2015 + a + 4033) - (a + a + 2014), должна быть кратна 10. Это упрощается до 2015 + 4033 - 2014, что равно 2019. Поскольку 2019 нечётно, оно не может делиться на 10. Противоречие.

Способ 2 (сразу чётность). Среди 2015 + 2019 = 4034 подряд идущих натуральных чисел 2017 нечётных чисел, то есть их количество нечётно. В одну сумму попадает чётное число нечётных чисел, а в другую — нечётное. Значит, указанные суммы будут разной чётности, т. е. не могут оканчиваться на одну цифру.

Ответ. Не может.

Пусть \( x \) – левое число, а \( y \) – правое; по условию: \( x + y = S \).

Тогда у Маши получилось число \( ax + by \), а у Алёши – число \( bx + ay \).

Сумма этих чисел равна \( ax + by + bx + ay = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)S \), то есть она делится на \( S \).

Так как одно из двух слагаемых (число Маши) делится на \( S \), то и другое (число Алёши) делится на \( S \), что и требовалось.

Заметим, что у числа 288 есть делители 1, 2, 3, 4, 32, 6, 16, 8, 9. Поэтому это число удовлетворяет условию задачи. Докажем, что меньшего числа, удовлетворяющего условию, не существует. Действительно, так как \( N \) должно иметь делитель с суммой цифр 9, то \( N \) делится на 9. Рассмотрим теперь делитель \( d \) с суммой цифр 8. \( d \) не делится на 3, поэтому числа \( d \) и 9 – взаимно простые, значит, \( N \) делится на \( 9d \). При этом, если \( d \geq 32 \), то \( 9d \geq 288 \), то есть \( N \geq 288 \). Значит, остается проверить \( d = 26 \), \( d = 17 \) и \( d = 8 \). Если \( d = 26 \), то \( 9d = 234 \). У этого числа нет делителя с суммой цифр 5, а любое число, ему кратное, больше, чем 288. Если \( d = 17 \), то \( 9d = 153 \). У этого числа нет делителя с суммой цифр 2, а любое число, ему кратное, больше, чем 288. Если \( d = 8 \), то \( 9d = 72 \). Ему кратные и меньшие, чем 288 – это 144 и 216. Но у этих чисел нет делителя с суммой цифр 5.