Maths4U
Menu
« Back to Trigonometric identities

Maths 9 – Trigonometric identities

📘 Notes

Тригонометрические тождества

В этих заданиях нужно использовать основные тригонометрические тождества, знаки тригонометрических функций по четвертям и точные значения специальных углов.

Во многих задачах решение состоит из двух шагов: сначала упростить выражение с помощью тождества, затем вычислить значение.

1. Основные тождества

\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] \[ \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \]

2. Знаки функций по четвертям

Четверть Промежуток \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\) \(\tan\alpha\)
I \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) + + +
II \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) + - -
III \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) - - +
IV \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) - + -

3. Точные значения, которые нужно знать

Угол \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\)
\(30^\circ\) \(\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac1{\sqrt3}\) \(\sqrt3\)
\(45^\circ\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(1\) \(1\)
\(60^\circ\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(\sqrt3\) \(\frac1{\sqrt3}\)
\(120^\circ\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(-\frac12\) \(-\sqrt3\) \(-\frac1{\sqrt3}\)

4. Как найти \(\sin\alpha\), если известен \(\cos\alpha\)

  1. Используй \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
  2. Найди \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\).
  3. Извлеки квадратный корень.
  4. Выбери правильный знак по четверти.

5. Как найти \(\cos\alpha\), если известен \(\sin\alpha\)

  1. Используй \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
  2. Найди \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\).
  3. Извлеки квадратный корень.
  4. Выбери правильный знак по четверти.

6. Полезные быстрые упрощения

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \tan x \cdot \cot x = 1 \] \[ \tan x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1 \] \[ \cot x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \]

7. Разобранные примеры

Пример 1

Найдите \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).

Решение

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac{2}{5} \]

Так как \(\alpha\) находится во II четверти, \(\sin\alpha > 0\), значит \[ \sin\alpha = \frac{2}{5} \]

Пример 2

Найдите значение \(\tan 10^\circ \cdot \cot 10^\circ + 4\sin 30^\circ\).

Решение

\[ \tan 10^\circ \cdot \cot 10^\circ = 1 \] \[ \sin 30^\circ = \frac12 \] \[ 4\sin 30^\circ = 4 \cdot \frac12 = 2 \]
\[ 1 + 2 = 3 \]

Пример 3

Найдите \(\cos\alpha\), если \(\sin\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) и \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\).

Решение

\[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \] \[ \cos\alpha = \pm \frac14 \]

Так как \(\alpha\) находится в IV четверти, \(\cos\alpha > 0\), значит \[ \cos\alpha = \frac14 \]

Пример 4

Найдите значение \(\sqrt3\tan 60^\circ - \sin^2 20^\circ - \cos^2 20^\circ\).

Решение

\[ \tan 60^\circ = \sqrt3 \] \[ \sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3 \] \[ \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1 \]
\[ 3 - 1 = 2 \]

Пример 5

Найдите \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha = -\frac35\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).

Решение

\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac45 \]

Так как \(\alpha\) находится в III четверти, \(\sin\alpha < 0\), значит \[ \sin\alpha = -\frac45 \]

Пример 6

Найдите значение \(\sin^2 110^\circ + \cos^2 110^\circ + 5\sqrt2\sin 45^\circ\).

Решение

\[ \sin^2 110^\circ + \cos^2 110^\circ = 1 \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \] \[ 5\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 5 \]
\[ 1 + 5 = 6 \]

8. Частые ошибки

  • После извлечения корня забывают выбрать правильный знак.
  • Не учитывают четверть.
  • Забывают тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
  • Используют неверные точные значения для \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\).
  • Не упрощают \(\tan x \cdot \cot x\) до \(1\).

9. Итог

\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] \[ \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \]

Сначала используй тождество, затем выбирай правильный знак по четверти.