Maths4U
Menu
« Back to Quadratic functions

Maths 9 – Quadratic functions

📘 Notes

Квадратичные функции

В таких заданиях нужно построить график квадратичной функции, а затем определить по графику его основные свойства.

График квадратичной функции называется параболой. Парабола может быть направлена ветвями вверх или вниз.

1. Общий вид

Квадратичная функция имеет вид:

y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0

  • Если a > 0, парабола направлена вверх.
  • Если a < 0, парабола направлена вниз.
  • График симметричен.

2. Что нужно уметь определять

  • Через какие координатные четверти проходит график
  • Точки пересечения с осями координат
  • Область определения
  • Множество значений
  • Промежутки возрастания и убывания

3. Основные факты

Вершина параболы

Вершина — это самая высокая или самая низкая точка параболы.

x-координата вершины:

x = -b / 2a

Затем подставляем это значение в функцию и находим y.

Если парабола направлена вверх, вершина является точкой минимума.
Если парабола направлена вниз, вершина является точкой максимума.

Ось симметрии

Ось симметрии имеет уравнение x = -b / 2a.

Пересечение с осью y

Подставляем x = 0. Тогда y = c, значит график пересекает ось y в точке (0, c).

Пересечение с осью x

Подставляем y = 0 и решаем уравнение:

ax2 + bx + c = 0

4. Область определения и множество значений

Область определения

Для любой квадратичной функции область определения — все действительные числа.

Множество значений

Оно зависит от y-координаты вершины.

  • Если парабола направлена вверх и вершина имеет координаты (p, q), то множество значений: y ≥ q
  • Если парабола направлена вниз и вершина имеет координаты (p, q), то множество значений: y ≤ q

5. Возрастание и убывание

Смотри на x-координату вершины.

  • Если парабола направлена вверх, то функция убывает до вершины и возрастает после вершины.
  • Если парабола направлена вниз, то функция возрастает до вершины и убывает после вершины.

6. Алгоритм решения таких задач

  1. Запиши функцию.
  2. Определи направление ветвей по знаку a.
  3. Найди вершину по формуле x = -b / 2a.
  4. Найди пересечение с осью y, подставив x = 0.
  5. Найди пересечения с осью x, решив уравнение ax2 + bx + c = 0.
  6. Построй параболу по найденным точкам.
  7. Укажи четверти, область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания.

7. Разобранный пример 1

Функция: y = x2 + 2x - 8

Шаг 1: Направление ветвей

a = 1, значит парабола направлена вверх.

Шаг 2: Вершина

x = -b / 2a = -2 / 2 = -1

y = (-1)2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9

Вершина: (-1, -9)

Шаг 3: Пересечения с осями

Ось y: x = 0, тогда y = -8

Точка: (0, -8)

Ось x: x2 + 2x - 8 = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

Точки: (-4, 0) и (2, 0)

Шаг 4: Область определения и множество значений

Область определения: все действительные числа

Множество значений: y ≥ -9

Шаг 5: Возрастание и убывание

Убывает при x < -1

Возрастает при x > -1

Шаг 6: Четверти

График проходит через I, II, III и IV четверти.

8. Разобранный пример 2

Функция: y = -x2 + 4x + 5

Шаг 1: Направление ветвей

a = -1, значит парабола направлена вниз.

Шаг 2: Вершина

x = -b / 2a = -4 / -2 = 2

y = -(2)2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9

Вершина: (2, 9)

Шаг 3: Пересечения с осями

Ось y: x = 0, тогда y = 5

Точка: (0, 5)

Ось x: -x2 + 4x + 5 = 0

x2 - 4x - 5 = 0

(x - 5)(x + 1) = 0

Точки: (5, 0) и (-1, 0)

Шаг 4: Область определения и множество значений

Область определения: все действительные числа

Множество значений: y ≤ 9

Шаг 5: Возрастание и убывание

Возрастает при x < 2

Убывает при x > 2

Шаг 6: Четверти

График проходит через I, II, III и IV четверти.

9. Быстрое напоминание про четверти

  • I четверть: x > 0, y > 0
  • II четверть: x < 0, y > 0
  • III четверть: x < 0, y < 0
  • IV четверть: x > 0, y < 0

10. Частые ошибки

  • Неправильно находят x-координату вершины.
  • Забывают, что область определения всегда состоит из всех действительных чисел.
  • Путают знак в множестве значений. Для минимума: y ≥ ..., для максимума: y ≤ ...
  • Путают промежутки возрастания и убывания.
  • Называют неверные четверти, не проверив знак x и знак y на разных участках графика.