Maths4U
Menu
« Back to Inequalities and systems of inequalities

Maths 9 – Inequalities and systems of inequalities

📘 Notes

Неравенства и их системы

В этой теме нужно уметь решать линейные неравенства, двойные неравенства, неравенства в виде произведения, квадратные неравенства и системы неравенств.

Для системы неравенств ответом является пересечение решений. Для квадратных неравенств можно использовать графический способ или метод интервалов.

1. Линейные неравенства

Линейные неравенства решаются почти так же, как уравнения.

Самое важное правило:

Если умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Пример:

-2x + 7 < -5

-2x < -12

x > 6

2. Двойные неравенства

Двойное неравенство означает, что должны выполняться сразу два условия.

Пример: -1 ≤ -2x + 3 < 5

Решай аккуратно. Если делишь на отрицательное число, переворачивай оба знака.

3. Системы неравенств

Сначала реши каждое неравенство отдельно.

Потом найди пересечение.

Пересечение — это те значения, которые подходят обоим неравенствам.

Например, если одно неравенство даёт x ≥ -6, а другое даёт x > 6, то пересечение равно x > 6.

4. Неравенства в виде произведения

Для неравенств вида (2x - 6)(x + 1) < 0 сначала находим нули множителей.

2x - 6 = 0, значит x = 3

x + 1 = 0, значит x = -1

Затем отмечаем эти точки на числовой прямой и используем метод интервалов.

Нужно определить, где произведение положительно, а где отрицательно, и выбрать нужный промежуток.

5. Квадратные неравенства

Для квадратных неравенств можно использовать:

  • Графический способ: нарисовать или представить параболу и посмотреть, где она выше или ниже оси x.
  • Метод интервалов: найти корни, отметить их на прямой и определить знак на каждом интервале.

Пример: x2 - 25 < 0

x2 - 25 = (x - 5)(x + 5)

Корни: x = -5 и x = 5

Так как парабола ветвями вверх, выражение отрицательно между корнями. Значит, -5 < x < 5.

6. Стандартные методы

Способ 1: Линейное неравенство

  1. Перенеси все x в одну сторону, числа — в другую.
  2. Упрости.
  3. Если делишь на отрицательное число, поменяй знак.

Способ 2: Система неравенств

  1. Реши каждое неравенство отдельно.
  2. Запиши каждое решение аккуратно.
  3. Найди пересечение.

Способ 3: Неравенство в виде произведения

  1. Найди нули множителей.
  2. Отметь их на числовой прямой.
  3. По методу интервалов определи знак на каждом промежутке.
  4. Выбери подходящий промежуток.

Способ 4: Квадратное неравенство

  1. Если можно, разложи на множители.
  2. Найди корни.
  3. Используй график или метод интервалов.
  4. Для ≤ или ≥ концы включаются, для < или > — нет.

7. Разобранные примеры

Пример 1: Система неравенств

Решите систему:

2x - 2 ≥ x - 8

-2x + 7 < -5

Решение

Первое неравенство: x ≥ -6

Второе неравенство: x > 6

Пересечение: x > 6

Пример 2: Неравенство в виде произведения

Решите (2x - 6)(x + 1) < 0.

Решение

Нули: x = 3 и x = -1

Произведение отрицательно между корнями, значит -1 < x < 3.

Пример 3: Двойное неравенство

Решите -1 ≤ -2x + 3 < 5.

Решение

-1 ≤ -2x + 3 < 5

-4 ≤ -2x < 2

Делим на -2 и переворачиваем знаки:

2 ≥ x > -1

Значит, -1 < x ≤ 2.

Пример 4: Квадратное неравенство

Решите x2 + 10x ≥ 0.

Решение

x2 + 10x = x(x + 10)

Корни: x = 0 и x = -10

Выражение неотрицательно вне корней, значит x ≤ -10 или x ≥ 0.

Пример 5: Квадратное неравенство

Решите x2 - 25 < 0.

Решение

x2 - 25 = (x - 5)(x + 5)

Корни: x = -5 и x = 5

Выражение отрицательно между корнями, значит -5 < x < 5.

8. Концы промежутков

  • Для ≤ или ≥ конец включается.
  • Для < или > конец не включается.
  • В системе неравенств всегда бери только пересечение.

9. Частые ошибки

  • Забывают перевернуть знак при делении на отрицательное число.
  • Для системы пишут объединение вместо пересечения.
  • В неравенствах вида произведения не используют интервалы.
  • В квадратных неравенствах выбирают неверный промежуток.
  • Включают концы, когда знак строгий.