Maths4U
Menu
« Back to Algebraic expressions

Maths 9 – Algebraic expressions

📘 Notes

Алгебраические выражения: сначала упростить, потом подставить

В таких заданиях сначала нужно упростить алгебраическое выражение, и только потом подставить данное значение \(a\).

Во многих заданиях используются формулы сокращённого умножения, разложение на множители, сокращение дробей и приведение подобных слагаемых.

1. Главная идея

  1. Сначала полностью упростить выражение.
  2. Только после этого подставить данное значение \(a\).
  3. Затем вычислить числовой ответ.

2. Полезные формулы

Квадрат суммы и квадрат разности

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \] \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

Разность квадратов

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]

Общий множитель

\[ ax+ay=a(x+y) \]

Сокращение алгебраических дробей

Если в числителе есть общий множитель со знаменателем, сначала разложи числитель на множители, а потом сократи.

\[ \frac{a^2-9}{a+3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}=a-3 \]

3. Стандартные методы

Способ 1: Раскрыть скобки

Используй формулы сокращённого умножения или обычное раскрытие скобок.

Способ 2: Разложить на множители и сократить

В дробях сначала разложи числитель на множители, затем сократи общий множитель со знаменателем.

Способ 3: Привести подобные слагаемые

Собери отдельно все члены с \(a^2\), с \(a\) и все числа.

Способ 4: Подставить в конце

После упрощения подставь нужное значение \(a\) и вычисли ответ.

4. Разобранные примеры

Пример 1

Упростите \(a^2+6a-(a+2)^2\). Затем найдите значение при \(a=-3\).

Решение

\[ (a+2)^2=a^2+4a+4 \] \[ a^2+6a-(a^2+4a+4) \] \[ =a^2+6a-a^2-4a-4 \] \[ =2a-4 \]

Теперь подставим \(a=-3\):

\[ 2(-3)-4=-6-4=-10 \]
Упрощённое выражение: \(2a-4\)
Значение при \(a=-3\): \(-10\)

Пример 2

Упростите \(\dfrac{2a^2-6a}{a-3}-4a+8\). Затем найдите значение при \(a=4\).

Решение

\[ 2a^2-6a=2a(a-3) \] \[ \frac{2a(a-3)}{a-3}-4a+8 \] \[ =2a-4a+8 \] \[ =-2a+8 \]

Теперь подставим \(a=4\):

\[ -2(4)+8=-8+8=0 \]
Упрощённое выражение: \(-2a+8\)
Значение при \(a=4\): \(0\)

Пример 3

Упростите \((a-3)^2-a(a-3)\). Затем найдите значение при \(a=-4\).

Решение

\[ (a-3)^2=a^2-6a+9 \] \[ a(a-3)=a^2-3a \] \[ (a^2-6a+9)-(a^2-3a) \] \[ =a^2-6a+9-a^2+3a \] \[ =-3a+9 \]

Теперь подставим \(a=-4\):

\[ -3(-4)+9=12+9=21 \]
Упрощённое выражение: \(-3a+9\)
Значение при \(a=-4\): \(21\)

Пример 4

Упростите \(\dfrac{2a^3-4a^2}{a^2}-7a+3\). Затем найдите значение при \(a=3\).

Решение

\[ \frac{2a^3-4a^2}{a^2}=\frac{a^2(2a-4)}{a^2}=2a-4 \] \[ 2a-4-7a+3 \] \[ =-5a-1 \]

Теперь подставим \(a=3\):

\[ -5(3)-1=-15-1=-16 \]
Упрощённое выражение: \(-5a-1\)
Значение при \(a=3\): \(-16\)

Пример 5

Упростите \((a-5)(a+5)-a(a-4)\). Затем найдите значение при \(a=-5\).

Решение

\[ (a-5)(a+5)=a^2-25 \] \[ a(a-4)=a^2-4a \] \[ (a^2-25)-(a^2-4a) \] \[ =a^2-25-a^2+4a \] \[ =4a-25 \]

Теперь подставим \(a=-5\):

\[ 4(-5)-25=-20-25=-45 \]
Упрощённое выражение: \(4a-25\)
Значение при \(a=-5\): \(-45\)

Пример 6

Упростите \(\dfrac{a^2}{a+1}\cdot \dfrac{3a+3}{a}-a-8\). Затем найдите значение при \(a=3\).

Решение

\[ 3a+3=3(a+1) \] \[ \frac{a^2}{a+1}\cdot \frac{3(a+1)}{a} \] \[ =3a \] \[ 3a-a-8 \] \[ =2a-8 \]

Теперь подставим \(a=3\):

\[ 2(3)-8=6-8=-2 \]
Упрощённое выражение: \(2a-8\)
Значение при \(a=3\): \(-2\)

5. Частые ошибки

  • Подставляют значение \(a\) слишком рано, до упрощения.
  • Неправильно раскрывают \((a+b)^2\) или \((a-b)^2\).
  • Забывают скобки при вычитании выражения.
  • Сокращают не множители, а отдельные слагаемые.
  • Допускают ошибки со знаками при приведении подобных слагаемых.

6. Итог

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \] \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \] \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \]

В таких заданиях сначала нужно упростить выражение, а потом подставить значение переменной. Тогда решение получается короче и проще.