Maths4U
Menu
« Back to Practical problems

Maths 9 – Practical problems

📘 Notes

Текстовые задачи: скидки, проценты, скорость, расстояние и прямая пропорциональность

В таких задачах главное — сначала понять, какой это тип задачи, потом выбрать правильный способ решения и работать по шагам.

В этой теме рассматриваются скидки, увеличение цены, скорость, время, расстояние и прямая пропорциональность.

1. Как распознать тип задачи

Если в задаче сказано Что делать
скидка \(10\%\), \(20\%\), \(30\%\) Найти размер скидки, затем вычесть его из первоначальной цены
цена повысилась на \(20\%\), \(30\%\) Найти увеличение, затем прибавить его к первоначальной цене
ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч Использовать формулу \(s=vt\)
на 8 человек нужно 400 г, а на 20 человек? Использовать прямую пропорциональность
туда и обратно по той же дороге Сначала найти расстояние, потом найти скорость обратно

2. Основные формулы

Скидка

\[ \text{скидка}=\frac{p}{100}\times \text{первоначальная цена} \] \[ \text{новая цена}=\text{первоначальная цена}-\text{скидка} \]

Повышение цены

\[ \text{увеличение}=\frac{p}{100}\times \text{первоначальная цена} \] \[ \text{новая цена}=\text{первоначальная цена}+\text{увеличение} \]

Скорость, расстояние и время

\[ s=vt \] \[ v=\frac{s}{t} \] \[ t=\frac{s}{v} \]

Прямая пропорциональность

Если для большего количества людей, метров или площади нужно больше материалов, используем:

\[ \text{новое количество}= \frac{\text{новое значение}}{\text{старое значение}} \times \text{старое количество} \]

3. Разобранные примеры

Пример 1: Скидка

Телефон стоит 7000000 сум. Во время распродажи Сардор купил его со скидкой \(10\%\). Сколько он заплатил?

Решение

\[ 10\% \text{ от } 7000000 = \frac{10}{100}\times 7000000 = 700000 \] \[ 7000000-700000=6300000 \]
Ответ: \(6300000\) сум.

Пример 2: Расстояние по частям пути

Амир ехал \(2\) часа по шоссе со скоростью \(12\) км/ч и \(0.5\) часа по горной дороге со скоростью \(8\) км/ч. Какое расстояние он проехал?

Решение

По шоссе:

\[ s=vt=12\times 2=24 \]

По горной дороге:

\[ s=8\times 0.5=4 \]

Общее расстояние:

\[ 24+4=28 \]
Ответ: \(28\) км.

Пример 3: Прямая пропорциональность

Чтобы приготовить компот для 8 человек, Феруза берёт 400 г сухофруктов. Сколько нужно для 20 человек?

Решение

\[ \text{новое количество}=\frac{20}{8}\times 400 \] \[ =2.5\times 400=1000 \]
Ответ: \(1000\) г.

Пример 4: Повышение цены

В сентябре 1 кг апельсинов стоил 20000 сум. В октябре цена выросла на \(20\%\). Сколько стал стоить 1 кг?

Решение

\[ 20\% \text{ от } 20000 = \frac{20}{100}\times 20000=4000 \] \[ 20000+4000=24000 \]
Ответ: \(24000\) сум.

Пример 5: Скорость обратно

Таксист ехал из Ташкента в Самарканд \(3\) часа со скоростью \(80\) км/ч. Обратно по той же дороге он ехал \(4\) часа. С какой средней скоростью он ехал обратно?

Решение

Сначала найдём расстояние туда:

\[ s=vt=80\times 3=240 \]

Обратно расстояние то же самое:

\[ v=\frac{s}{t}=\frac{240}{4}=60 \]
Ответ: \(60\) км/ч.

Пример 6: Прямая пропорциональность по площади

Для укладки 40 м\(^2\) плитки нужно 8 мешков клея. Сколько мешков нужно для 100 м\(^2\)?

Решение

\[ \text{новое количество}=\frac{100}{40}\times 8 \] \[ =2.5\times 8=20 \]
Ответ: \(20\) мешков.

4. Короткие схемы решения

Если есть скидка

  1. Найди процент от первоначальной цены.
  2. Вычти его из первоначальной цены.

Если цена повысилась

  1. Найди увеличение.
  2. Прибавь его к первоначальной цене.

Если путь состоит из нескольких частей

  1. Для каждой части отдельно найди расстояние по формуле \(s=vt\).
  2. Потом сложи расстояния.

Если одна и та же норма для разных количеств

  1. Определи, во сколько раз изменилось количество.
  2. Умножь исходное количество на этот коэффициент.

5. Частые ошибки

  • При скидке прибавляют процент вместо вычитания.
  • При повышении цены вычитают процент вместо прибавления.
  • Забывают, что полчаса — это \(0.5\) часа.
  • В задачах про обратную дорогу забывают сначала найти расстояние.
  • Неправильно составляют отношение в задачах на пропорцию.
  • Забывают писать единицы измерения: сум, км, г, л.

6. Итог

\[ s=vt \] \[ \text{новая цена со скидкой}=\text{старая цена}-\text{скидка} \] \[ \text{новая цена после повышения}=\text{старая цена}+\text{увеличение} \] \[ \text{новое количество}= \frac{\text{новое значение}}{\text{старое значение}} \times \text{старое количество} \]

Главное в таких задачах — понять ситуацию, выбрать правильную формулу и решать аккуратно по шагам.